神楽坂代数セミナーの記録 （2013年度）
- 第四回
- 日時 2014年2月3日 (月) 15:30-17:00
- 会場 東京理科大学森戸記念館 2F 第一会議室
- 講演者 Omar Kihel（Brock University, Canada）
- タイトル Permutation polynomials over finite fields
- 概要
PDF version is available here .
Let $\mathbb{F}_{q}$ be the finite field of characteristic $p$ containing $q = p^{r}$ elements. A polynomial $f(x) \in \mathbb{F}_{q}[x]$ is called a permutation polynomial of $\mathbb{F}_{q}$ if the induced map $f: \mathbb{F}_{q} \rightarrow \mathbb{F}_{q}$ is one to one. The study of permutation polynomials goes back to Hermite for $\mathbb{F}_{p}$ and Dickson for $\mathbb{F}_{q}$. The interest in permutation polynomials increased in part because of their applications in cryptography and coding theory. Despite the interest of numerous people in the subject, characterizing permutation polynomials and finding new families of permutation polynomials remain open questions. We will introduce the permutation polynomials over finite fields and talk about some cryptographical applications. We will outline what is known about the permutation polynomials and show some known families of permutation polynomials. This first part of the talk is accessible to undergraduate students.
In the second part of this talk, we give some new results that I obtained with my collaborator Prof. M. Ayad. Permutation monomials are completely understood, however permutation binomials are not well understood. we will prove in particular that if $f(x) = ax^{n} + x^{m}$ permutes $\mathbb{F}_{p}$, where $n>m>0$ and $a \in {\mathbb{F}_{p}}^{*}$, then $p -1 \leq (d -1)d$, where $d = {\mbox{gcd}}(n-m,p-1)$, and that this bound of $p$ in term of $d$ only, is sharp, which improve certain results of Masuda and Zieve, Wan, and Turnwald. We show as well, that binomials of certain types over $\mathbb{F}_{q}$ do not exist, and how to obtain in certain cases a new permutation binomial over a subfield of $\mathbb{F}_{q}$ from a permutation binomial over $\mathbb{F}_{q}$.
- 第三回
- 日時 2014年1月14日 (火) 15:00-18:00
- 会場 東京理科大学神楽坂校舎2号館2階223教室
- 15:00-15:50 16:00-16:50
- 講演者 伊山 修 （名古屋大学）
- タイトル 多元環の表現論入門1, 2
- 概要
1970年代、Auslander-Reiten理論により加群圏の視覚化が可能となり、
その結果、加群圏が常に２次元の構造を持つことが明らかとなりました。
Gabriel以降の、Bongartz, Riedtmann, Igusa-Todorov, Brennerらの仕事は、
表現論（有限表現型多元環）、組み合わせ論（translation quiver）、
ホモロジー代数（Auslander多元環）の交錯する、表現論の雛形ともいえる
興味深いものです。
講演ではこれを、講演者自身による再整理を交えて紹介したいと思います。
- 17:10-18:00
- 講演者 水野有哉（名古屋大学）
- タイトル 自己入射的ポテンシャル付き箙とその変異
- 概要
この講演ではポテンシャル付き箙で与えられる自己入射的（selfinjective）多元環およびその変異（mutation）について述べたい．
与えられた多元環に対し，それと導来同値な多元環を与える事は基本的問題のひとつである．
本講演では中山置換を用いてある傾複体を与える事，及びその自己準同型環の箙と関係式が変異によって与えられる事などを紹介したい．
- 第二回
- 日時 2013年12月16日 (月) 17:15-18:45
- 会場 東京理科大学神楽坂校舎1号館111教室
- 講演者 角皆宏（上智大学）
- タイトル Belyi射とdessin d'enfantsについて（入門）
- 概要 代数体上定義された代数曲線は、P^1への0,1,∞の外不分岐な被覆射を持ち、これをBelyi射という。
このとき、P^1上の区間[0,1]の逆像として、代数曲線に付随するRiemann面上に二部グラフが定まり、
これをGrothendieckに倣ってdessin d'enfantsと呼ぶ。
このグラフの組合せ的情報によって代数曲線とBelyi射との対の同型類が定まるが、
例えば定義体の情報などをどのように取り出せるかなど未解明な部分が多い。
種数0で次数が低い場合には或る程度網羅的な計算結果があり、
特にグラフが木の場合には標準的な計算技法がある。
講演者は、特に種数1の曲線上のBelyi射の網羅的な計算を試みているので、
これらの計算例を交えて、入門的に紹介する。
- 第一回
- 日時 2013年11月18日 (月) 16:30-18:00
- 会場 東京理科大学神楽坂校舎8号館843教室
- 講演者 水澤靖 （名古屋工業大学）
- タイトル 実2次体の Z_2 拡大と準二面体型 2-類体塔
- 概要 総実代数体 k の円分 Z_p 拡大上の最大不分岐 pro-p 拡大
のガロア群 G を考えます。
p=2 のとき、k が実 2 次体ならば
G は準二面体（semi-dihedral, quasi-dihedral）群と同型でない
ことを、主結果としてお話します。
Greenberg 予想の下では、
G の任意の開部分群は有限アーベル商を持ち、G は
有限次代数体の p-類体塔のガロア群に似ているように見えます。
任意の有限 p-群は p-類体塔のガロア群として現れることが
尾崎学氏により証明されていますが、
そこから生じる問題
「任意の有限 p-群は、G としても現れるか？」
が動機です。関連する話題の概観から始めたいと思います。