神楽坂代数セミナーの記録 （2015年度）
- 第23回
- 2016年1月30日（土） 15:30-18:10
- 会場 東京理科大学神楽坂キャンパス8号館4階 844教室
- 15:30-16:30
- 講演者 板場綾子氏（静岡大学）
- タイトル Frobenius Koszul 多元環とtwisted superpotential
- 概要 本研究は, 金加喜氏(静岡大学)との共同研究に基づくものであり,
非可換代数幾何学における重要な対象である3次元quadratic AS-regular 多元環と
そのKoszul 双対であるFrobenius Koszul 多元環を考察する.
非可換代数幾何学とは, 代数幾何を用いて非可換環を研究する分野である.
3次元quadratic AS-regular 多元環がCalabi-Yauのときには,
あるpotential のJacobian 多元環としてかけることが知られているが,
最近のMori-Smithの研究では,
幾何を用いてそれらのpotential が完全に分類された.
また, Mori-Smith は, 一般次元のm-Koszul AS-regular 多元環に対して,
twisted superpotential を具体的に求めることを通して,
今まで計算が困難とされてきたhomological determinant を容易に計算する方法
を確立した.
本研究では, 非可換代数幾何学の手法と,
このtwisted superpotential を応用することにより,
以下の予想を解決することを目標とする.
予想: 任意のFrobenius Koszul 多元環\( A \)で\( (rad A)^4=0 \)を満たすものに対して,
ある対称多元環Sが存在し, AとSは次数付き森田同値である.
本講演では, この予想がいくつかのケースで成り立っていることを示す.
また, 初学者向けに基礎的な定義と例も含め紹介する予定である.
- 16:40-18:10
- 講演者 加藤希理子氏（大阪府立大学）
- タイトル 三角圏の対称性 −多角形ルコルマン−
- 概要 導来圏やホモトピー圏は、ホモロジー代数を研究するための基本的な枠組みです。
これら三角圏を分析するためのひとつの手がかりは、部分圏の直交性です。
Bousfield局所化とも呼ばれる安定t構造は、部分圏と商圏の間の同値を引き起こします。
発展形であるルコルマン、多角形ルコルマンとなると更に高い対称性を呈するようになります。
本講演では、多角形ルコルマンが発生する仕組みについて、
伊山−宮地両氏との共同研究の結果を含め、
多元環の導来圏やCohen-Macaulay安定圏などの身近な例を用いてお話します。
- 第22回
- 2016年1月13日（水） 14:30-16:50
- 会場 東京理科大学神楽坂キャンパス 3号館3階333教室
- 14:30-15:10
- 講演者 南村典彦（東京理科大学）
- タイトル Rédai の二面体拡大と不定符号2次形式のテータ級数
- 概要
Rédeiは2つの素数\( p_1,p_2 \)以外で不分岐な\( D_4 \)-拡大体
\( K(p_1,p_2) \)に対して3つ組記号\( [p_1,p_2,p_3] \) を定義し，
ある相互法則を証明した．
天野たちはこの\( D_4 \)-拡大に定符号2次形式のテータ級数を対応させることにより，この相互法則をテータ級数のフーリエ係数の関係式として表した．
本講演では，Rédei記号の相互法則を不定符号の2次形式のテータ級数の
フーリエ係数で表すことを考える．
- 15:20-16:00
- 講演者 小境雄太（東京理科大学）
- タイトル Brauer tree 多元環上の両側tilting complexの構成
- 概要 1989年，Rickardにより2つのBrauer tree 多元環が
導来同値であるための必要十分条件は2つのBrauer treeが同じ数のedgeと同じ
重複度をもつことであると示された．
この証明は片側tilting complexを構成することでなされた．
本講演ではこの片側tilting complexに対応する両側tilting complexの構成
を\( SL(2,7) \)の主ブロックを例に紹介する．
- 16:10-16:50
- 講演者 鯉江秀行（東京理科大学）
- タイトル \( \mathbb{D}_4 \)
型箙の道多元環のtrivial extension多元環に対する
ホッホシルトコホモロジー環とBatalin-Vilkovisky構造について
- 概要 Tradlerは2008年に有限次元の対称多元環のホッホシルトコホモロジー環がBatalin-Vilkovisky構造（BV-構造）を持つことを示した。しかし、具体的なBV-構造の計算例は少ない。本講演では、\( \mathbb{D}_4 \) 型箙の
道多元環のtrivial extension多元環に対する
ホッホシルトコホモロジー環の構造、及びそのBV構造について考察する。
- 第21回
- 2015年11月12日（木） 16:30-18:00
- 会場 東京理科大学神楽坂キャンパス 742
- 講演者 森澤貴之（東京理科大学）
- タイトル 有理数体の\( Z_p \)-拡大の類半群について
- 概要
有限次代数体に対し, その分数イデアル全体は群をなし, その商としてイデアル
類群が定義される.
しかし, 無限次代数体に対しては, その分数イデアル全体は可換半群にはなる
が, 群になるとは限らない.
この分数イデアル全体から定まるイデアル類半群について, 有理数体の\( Z_p \)-拡大
の場合に得られた結果を紹介する.
これは許斐豊氏との共同研究である.
- 第20回
- 2015年10月13日（火） 16:10-17:40
- 会場 東京理科大学神楽坂キャンパス 333
- 講演者 長谷川武博（滋賀大学）
- タイトル Constructions of Drinfeld modular towers
- 概要
1996 年に Garcia と Stichtenoth は，関数体の塔を二種類構成し，
巧妙な計算によりそれらが 「漸近的に最良」 であることを示しました．
現在では，これら二種類の塔のうち一方は楕円モジュラー曲線に，
もう一方はドリンフェルト・モジュラー曲線に関係することが知られています．
本講演では，モジュラーという立場から上記の結果に別証明を与えます．
- 第19回
- 2015年7月29日（水） 16:30-18:00
- 会場 東京理科大学神楽坂キャンパス8号館 831
- 講演者 古谷貴彦（明海大学）
- タイトル 既約写像の合成について (On the composite of irreducible maps)
- 概要
アルティン多元環の有限生成加群の間の既約写像(irreducible map)は，
アウスランダーによって導入されました。これらの写像は（大雑把に）
任意の写像の生成元と捉えることができます。また，アルティン多元環
のアウスランダー・ライテンクイバーとは，直既約加群の同型類と
既約写像によって定義される有効グラフであり，アルティン
多元環の写像と加群の様子を視覚化するものと言えます。
これまでの研究で，アウスランダー・ライテンクイバーにおける様々な道
(sectional path, pre-sectional pathなど)が導入され，それらに対応する
既約写像の合成が研究されました。本講演では，アルティン多元環に対す
るアウスランダー・ライテンクイバーの定義を述べた後，上記の研究結果
を紹介します。この他，既約写像の次数の概念も紹介する予定です。
- 第18回
- 2015年6月29日（月） 16:30-18:00
- 会場 東京理科大学神楽坂キャンパス7号館 751
- 講演者 木田雅成（東京理科大学）
- タイトル 大学院生のための Magma 入門
- 概要 Magma は高機能で信頼性の高い代数計算のための
ソフトウェアである．この講演では，
数論・代数学を専門とする大学院生のために学部で学ぶ代数学を題材にして
Magma の使い方の紹介をする．
- 第17回
- 2015年6月13日（土）10:00-17:20
- 会場 東京理科大学神楽坂キャンパス8号館 845
- 10:00-11:00
- 講演者 Juergen Mueller (Jena University, Germany)
- タイトル On low-dimensional representations of the symmetric group
- 概要
It is a major open problem in representation theory of finite groups
to understand the irreducible modular representations of the symmetric
group \( S_n \) on $n$ letters. Although considerable progress has been made
in recent decades, not even their dimensions are in general known today.
The situation becomes slightly better if we restrict ourselves to the
representations whose dimensions are bounded above by a polynomial
in \( n \).
In this talk we show how to obtain a classification of all the
irreducible modular representations of \( S_n \) of dimension at most
\( n^3\), including dimension formulae. This is achieved by applying
an idea originally due to G. James, to get hands on dimension bounds,
by using the current knowledge about decomposition numbers, concerning
both theoretical as well as explicit results, and by employing
techniques from computational representation theory.
- 11:10-12:10
- 講演者 越谷重夫（千葉大学）
- タイトル Endo-trivial modules
- 13:40-14:40
- 講演者 Juergen Mueller (Jena University, Germany)
- タイトル The Abelian Defect Group Conjecture for sporadic simple groups
- 概要
Let \(G \) be a finite group, let \( A \) be a prime block of \(G \)
having an
abelian defect group \( P \), let \( N \) be the normaliser in \(G\) of
\( P \), and
let \( B \) be the Brauer correspondent of \( A \). Then the Abelian Defect
Group Donjecture (in various forms due to M. Brou\'e and J. Rickard)
says that the bounded derived categories of the module categories
of \( A \) and \( B \) are equivalent as triangulated categories. Although
being in the focus of intensive study since two decades now, a general
proof seems to be out of sight.
A possible strategy is a reduction to the simple (and closely
related) groups. Hence it seems worth-while to tackle these groups
first. In view of this, in this talk we show how a combination
of theoretical strategies and techniques from computational
representation theory can be pursued to prove the Abelian Defect
Group Conjecture for some of the sporadic simple groups. This is
joint work with Shigeo Koshitani and Felix Noeske.
- 15:00-16:00
- 講演者 渡邉アツミ（熊本大学）
- タイトル Perfect isometries for blocks with metacyclic,
minimal non-abelian defect groups
- 16:20-17:20
- 講演者 佐々木 洋城（信州大学）
- タイトル Module structures of source algebras of blocks ideals
- 第16回
- 2015年5月22日（金） 15:00-18:00 （途中に休憩あり）
- 会場 東京理科大学神楽坂キャンパス2号館 233
- 講演者 加塩 朋和（東京理科大学）
- タイトル 有理数体上の Stark 予想と Fermat 曲線の CM周期
- 概要
Stark 予想は, Artin L 関数の \( s=0\) での
Taylor 展開の先頭項に関する主張である.
これは, 基礎体が有理数体の場合には, 円単数の性質に帰着させて証明することができる.
本講演では, 主張の一部ではあるが, 円単数の代わりに
Fermat 曲線の (\(p \) 進) CM 周期を用いて別証明が与えられる事を紹介する.
- 第15回
- 2015年4月30日（木） 16:30-18:00
- 会場 東京理科大学神楽坂キャンパス3号館 342
- 講演者 小松 亨（東京理科大学）
- タイトル 位数\( n \) のイデアル類をもつ虚2次体
\( \mathbb{Q} (\sqrt{D}), \mathbb{Q} (\sqrt{mD}) \)について
- 概要
正の整数\( m,n\)に対して, 虚2次体\( \mathbb{Q} (\sqrt{D}) \)
と \( \mathbb{Q} (\sqrt{mD}) \)が
ともに位数\( n \)のイデアルをもつような負の整数\( D \)の構成法について説明する。