Standing waves for nonlinear Schrödinger equations with linear potentials

太田雅人 (Masahito OHTA) 静岡大学工学部 Email : tsmoota@eng.shizuoka.ac.jp

ポテンシャル V (x) を含む非線形シュレディンガー方程式

iu_{t} = −Δu + V (x)u − |u|^{p−1}u,  (t, x) ∈ ℝ^{1+n}  (1)

の standing wave 解 u_{ω}(t, x) = e^{iωt}ϕ_{ω}(x) の安定性について考える. この講演では常に 1 < p < ∞ (n = 1, 2), 1 < p < 1 + 4/(n − 2) (n ≥ 3) を仮定する. また ω ∈ ℝ とし ϕ_{ω}(x) は

−Δϕ + ωϕ + V (x)ϕ − |ϕ|^{p−1}ϕ = 0, x ∈ ℝ^{n}  (2)

の基底状態とする. [5] における数値計算結果などから “一般的な” ポテンシャル V (x) に対して次の２つの主張はもっともらしく思われる. (主張１) “−Δ + V (x) が最小固有値 λ_{1} をもつとき任意の p に対して ω が ω > −λ_{1} で −λ_{1} に十分近ければ e^{iωt}ϕ_{ω}(x) は安定であろう.” (主張２) “p > 1 + 4/n のとき ω が十分大きければ e^{iωt}ϕ_{ω}(x) は不安定であろう.”

主張１については [5] において分岐理論を用いて議論されている ([2] も参照). この講演では主張２に関して福泉麗佳氏 (東北大・理) との共同研究の中間報告をしたい. 結果を大雑把に述べると V (x) は下に有界で, ある程度滑らかで, V (x) = o(|x − a|^{−2}) as x → a, V (x) = O(|x|^{2}) as |x| → ∞ であれば主張２はほぼ正しい. 結果を正確に述べる前に V (x) ≡ 0 のときの結果と比較する. ω > 0 に対して

\{ \begin{matrix}−Δψ + ωψ − |ψ|^{p−1}ψ = 0, x ∈ ℝ^{n}, \\ ψ ∈ H^{1}(ℝ^{n}) \end{matrix}  (3)

の正値球対称解 ψ_{ω}(x) は一意的に存在し (1) with V (x) ≡ 0 の standing wave 解 e^{iωt}ψ_{ω}(x) は p < 1 + 4/n のとき任意の ω > 0 に対して安定で, p ≥ 1 + 4/n のとき任意の ω > 0 に対して不安定である (例えば [1, 3] 及びそれらの References を参照).

−Δ + V (x) が固有値を持つとき p ≥ 1 + 4/n であっても安定な standing wave 解が存在することに注意する (主張１ [5, 2] 参照). また [5] における数値計算結果などから p = 1 + 4/n のときは主張２は一般には成り立たないと思われる.

ポテンシャル V (x) に対する仮定や記号などを用意してから結果を述べる.

(H0) There exist real valued functions V_{1}(x) and V_{2}(x) such that V (x) = V_{1}(x) + V_{2}(x). (H1.0) V_{1}(x) ∈ C^{∞}(ℝ^{n}), V_{1}(x) ≥ 0 in ℝ^{n}, ∂^{α}V_{1}(x) ∈ L^{∞}(ℝ^{n}) for |α| ≥ 2. (H1.1) There exists C > 0 such that |x · ∇V_{1}(x)| ≤ C(|x|^{2} + V_{1}(x)) in ℝ^{n}. (H2.0) V_{2}(x) ∈ L^{q_{0}}(ℝ^{n}) + L^{∞}(ℝ^{n}) for some q_{0} ≥ 1, q_{0} > n/2. (H2.1) x · ∇V_{2}(x) ∈ L^{q_{1}}(ℝ^{n}) + L^{∞}(ℝ^{n}) for some q_{1} ≥ 1, q_{1} > n/2.

(H2.2) ∑_{j,k=1}^{n} x_{j}x_{k}∂_{j}∂_{k}V_{2}(x) ∈ L^{q_{2}}(ℝ^{n}) + L^{∞}(ℝ^{n}) for some q_{2} ≥ 1, q_{2} > n/2.

(H3) There exists γ ∈ ℝ such that V (x) ≥ γ for all x ∈ ℝ^{n}. (H4) V (x) is radially symmetric about x = 0.

以下では次の記号を用いる.

X := {v ∈ H^{1}(ℝ^{n}) : V_{1}(x)|v(x)|^{2} ∈ L^{1}(ℝ^{n})},

E(v) := \frac{1}{2}∥∇v∥_{2}^{2} + \frac{1}{2} ∫_{ℝ^{n}} V (x)|v(x)|^{2}dx − \frac{1}{p + 1}∥v∥_{p+1}^{p+1},

S_{ω}(v) := E(v) + \frac{ω}{2} ∥v∥_{2}^{2},

P (v) := ∥∇v∥_{2}^{2} − \frac{1}{2} ∫_{ℝ^{n}} x · ∇V (x)|v(x)|^{2}dx − \frac{n(p − 1)}{2(p + 1)}∥v∥_{p+1}^{p+1},

I_{ω}(v) := ∥∇v∥_{2}^{2} + ω∥v∥_{2}^{2} + ∫_{ℝ^{n}} V (x)|v(x)|^{2}dx − ∥v∥_{p+1}^{p+1}.

このとき [1] の Theorem 9.2.5 と Remark 9.2.9 より次の Proposition が成り立つ.

Proposition 0. Assume (H0), (H1.0) and (H2.0). For any u_{0} ∈ X, there exist T = T (∥u_{0}∥_{X}) > 0 and a unique solution u(t) ∈ C([−T, T], X) ∩ C^{1}([−T, T], X′) of (1) with u(0) = u_{0}. Moreover, we have

E(u(t)) = E(u_{0}), ∥u(t)∥_{2}^{2} = ∥u_{0}∥_{2}^{2}, t ∈ [−T, T].

In addition, if we assume (H1.1), (H2.1) and that u_{0} ∈ X satisfies |x|u_{0} ∈ L^{2}(ℝ^{n}), then we have

\frac{d^{2}}{dt^{2}} ∥xu(t)∥_{2}^{2} = 8P (u(t)), t ∈ [−T, T].

Definition 1. We say that a standing wave solution e^{iωt}ϕ_{ω}(x) of (1) is stable if for any ε > 0 there exists δ > 0 with the following property: If u_{0} ∈ X satisfies

inf{∥u_{0} − e^{iθ}ϕ_{ω}∥_{X} : θ ∈ ℝ} < δ,

then the solution u(t) of (1) with u(0) = u_{0} exists for all t ∈ ℝ and satisfies

sup_{t∈ℝ}inf{∥u(t) − e^{iθ}ϕ_{ω}∥_{X} : θ ∈ ℝ} < ε.

Otherwise, e^{iωt}ϕ_{ω}(x) is said to be unstable.

Definition 2. We say that ϕ_{ω}(x) is a ground state of (2) if ϕ_{ω}(x) is a minimizer of

inf{S_{ω}(v) : v ∈ X \ {0}, I_{ω}(v) = 0}.  (4)

In case of (H4), we say that ϕ_{ω}(x) is a radial ground state of (2) if ϕ_{ω}(x) is a minimizer of

inf{S_{ω}(v) : v ∈ X_{rad} \ {0}, I_{ω}(v) = 0}.

今回次の２つの定理を得た.

Theorem 1. Suppose that V_{1}(x) ≡ 0 on ℝ^{n}, and assume (H0), (H2), (H3) and p > 1 + 4/n. Let ϕ_{ω}(x) be a ground state of (2). Then there exists ω_{∗} = ω_{∗}(n, p) ∈ (0, ∞) such that the standing wave solution e^{iωt}ϕ_{ω}(x) of (1) is unstable for any ω ∈ (ω_{∗}, ∞).

Theorem 2. Suppose n ≥ 2, p > 1 + 4/n and (H0)–(H4). Let ϕ_{ω}(x) be a radial ground state of (2). Then there exists ω_{∗} = ω_{∗}(n, p) ∈ (0, ∞) such that the standing wave solution e^{iωt}ϕ_{ω}(x) of (1) is unstable for any ω ∈ (ω_{∗}, ∞).

[3] にまとめられている一般論によれば e^{iωt}ϕ_{ω}(x) の安定性・不安定性を知るには ω の関数 ∥ϕ_{ω}∥_{2}^{2} の増減を調べればよい. V (x) ≡ 0 の場合はスケール則 ψ_{ω}(x) = ω^{1/(p−1)}ψ_{1}(\sqrt{ω}x) が成り立つのでこの増減を調べるのは簡単であるが, 一般には難しい. そこで Theorems 1 and 2 の証明には次の不安定性判定条件を用いる ([4] を参照).

Proposition 1. Assume (H0)–(H3). Let ϕ_{ω}(x) be a ground state of (2). If ∂_{λ}^{2}E(ϕ_{ω}^{λ})|_{λ=1} < 0, then the standing wave solution e^{iωt}ϕ_{ω} is unstable. Here, we put v^{λ}(x) := λ^{n/2}v(λx) for λ > 0.

P (ϕ_{ω}) = 0 を用いて計算すると ∂_{λ}^{2}E(ϕ_{ω}^{λ})|_{λ=1} < 0 は

\frac{∫_{ℝ^{n}} \{3x · ∇V (x) + ∑_{j,k=1}^{n} x_{j}x_{k}∂_{j}∂_{k}V (x)\} |ϕ_{ω}(x)|^{2}dx}{∥ϕ_{ω}∥_{p+1}^{p+1}} < \frac{n(p − 1)\{n(p − 1) − 4\}}{2(p + 1)} (5)

と同値であることが分かる. 基底状態 ϕ_{ω}(x) の変分的特徴付けを用いて V (x) ≡ 0 の場合の基底状態 ψ_{ω}(x) と様々なノルムを比較することにより (5) の左辺が ω → ∞ のとき 0 に収束することを示す.

今後の課題としては Theorem 2 において球対称性を取り除くことを考えている.

References

[1] T. Cazenave, “An introduction to nonlinear Schrödinger equations,” Textos de Métods Matemáticos 26, IM-UFRJ, Rio de Janeiro 1993.

[2] R. Fukuizumi, Stability and instability of standing waves for the nonlinear Schrödinger equation with harmonic potential, Preprint.

[3] M. Grillakis, J. Shatah and W. Strauss, Stability theory of solitary waves in the presence of symmetry I, J. Funct. Anal. 74 (1987) 160–197.

[4] M. Ohta, Instability of standing waves for the generalized Davey-Stewartson system, Ann. Inst. H. Poincaré, Phys. Théor. 62 (1995) 69–80.

[5] H. A. Rose and M. I. Weinstein, On the bound states of the nonlinear Schrödinger equation with a linear potential, Phyica D 30 (1988) 207–218.