Multiple solutions of H-systems on some multiply-connected domains

高橋太 (Futoshi Takahashi) 東京工業大学理学部 E-mail: takahasi@math.titech.ac.jp

Ω ⊂ R^{2} を滑らかな境界を持つ有界領域, (x, y) ∈ Ω とする。この講演では次の非線型楕円型方程式系の境界値問題 (HD):

Δu = 2u_{x} ∧ u_{y} in Ω,  (1)
u|_{∂Ω} = 0,  (2)

の多重解の存在について考える。ここに u ∈ H_{0}^{1}(Ω; R^{3}) はベクトル値関数、 “ ∧ ” は R^{3} の通常のベクトル積、 u_{x}, u_{y} 等は偏導関数を表す。 (1) は定数平均曲率 H ≡ 1 の曲面のパラメトリック表示の満たす方程式系であり、 H-system と呼ばれる ([BC1] [BC2])。 (1) は等角不変性を持つ方程式系であることに注意する。

u ≡ 0 は常に (HD) の解なので以降これを自明な解と呼ぶことにする。 (HD) の非自明解の存在・非存在について、 1975 年、 H.Wente [W] は次の事実を証明した。

• Ω を単連結領域とする。（上の注意によって Ω = 単位円板としてよい。）このとき (HD) の解は u ≡ 0 しか存在しない。

• Ω を (円環領域と等角同値な) ２重連結領域とする。このとき (HD) の非自明解が少なくとも１つ存在する。

２番目の事実の証明には、解に軸対称性を仮定して、 H-system (1) と同値な常微分方程式系を解析する方法が用いられた。

境界値問題 (HD) は、高次元での臨界 Sobolev 指数を含む半線形楕円型方程式の境界値問題 (SD):

−Δu = u^{\frac{N+2}{N−2}} in Ω ⊂ R^{N}(N ≥ 3),
u > 0 in Ω,
u|_{∂Ω} = 0,

との間に多くの類似点を持つことが知られている。先の Wente の第１の結果は、 (SD) に対する星型領域での Pohozaev の非存在定理に、また第２の結果は、円環領域での Kazdan-Warner の存在定理に対応するものと考えられる。 (SD) については、 (多重) 解の存在・非存在と領域の位相的・幾何的性質との関連について多くの研究が行われている (例えば [BaC], [Pa] など)。これらの研究から、 (HD) についても次の主張は自然であると思われる。

• Ω ⊂ R^{2} を K 重連結領域とする (K ≥ 1)。このとき (HD) の解は自明解も含めて少なくとも K 個存在する。この講演では次の結果を報告したい。

• 十分広いクラスの K 重連結領域 Ω ⊂ R^{2} の上では、 (HD) の解は自明解も含めて少なくとも K 個存在する。

より正確に述べるために次の定義を行う。

Definition.(condition (A_{R_{1},R_{2},···,R_{K−1}})) There exist z_{1}, z_{2}, ⋯, z_{K−1} ∈ R^{2} such that

(1) B_{R_{i}}(z_{i}) := {z ∈ R^{2} : |z − z_{i}| < R_{i}} are disjoint discs,

(2) A_{R_{i}^{−1},R_{i}}(z_{i}) := {z ∈ R^{2} : R_{i}^{−1} < |z − z_{i}| < R_{i}} ⊂ Ω (i = 1, 2, ⋯, K − 1),

(3) B_{R_{i}^{−1}}(z_{i}) := \{z ∈ R^{2} : |z − z_{i}| < R_{i}^{−1}\} ⊄ \overline{Ω} (i = 1, 2, ⋯, K − 1).

Theorem. Let Ω ⊂ R^{2} be a bounded smooth domain. For every K ∈ N, there exist constants 4 < R_{1} < R_{2} < ⋯ < R_{K−1} such that if Ω satisfies the condition (A_{R_{1},R_{2},···,R_{K−1}}), then the problem (HD) admits at least K distinct solutions.

条件 (A_{R_{1},R_{2},···,R_{K−1}}) をみたす領域 Ω は K 重連結領域であることに注意する。また方程式の等角不変性から、上の定理で構成した Ω と等角同値なすべての領域で同じ結果が成立する。

証明は Coron [Co] に従い、 Morse 理論に基づく変分法的手法による。 [Co] では臨界 Sobolev 指数の境界値問題 (SD) を取扱っている。

以下で用いるいくつかの記号を用意する。

Q(u) := ∫_{Ω} u · u_{x} ∧ u_{y}, u ∈ H_{0}^{1}(Ω; R^{3}),
S(u) := \frac{∫_{Ω} |∇u|^{2}}{|Q(u)|^{2/3}} , for Q(u) ≠ 0,
M := {u ∈ H_{0}^{1}(Ω; R^{3}) : Q(u) = 1},
M^{λ} := {u ∈ M : S(u) < λ},
\overline{S} := inf_{u∈M} S(u) = (32π)^{1/3}.

(HD) の解を見つけることは、 M 上で汎関数 S の critical point を見つけることに帰着される。その方法は、領域 Ω のホモトピー的非自明性を利用して、 S が Palais-Smale 条件を満たす範囲内の２つの sub-level sets M^{α}, M^{β} の間に topological difference をもたらすような M 内の path を構成することによる。

次の結果が key となる。

Lemma. Let {u^{n}} ⊂ M be a sequence such that

S(u^{n}) = \overline{S} + o(1) as n → ∞.

Then there exists a subsequence (still denoted by u^{n}) and z = (x, y) ∈ \overline{Ω} such that

|∇u^{n}|^{2} ⇀^{∗} \overline{S}δ_{z} in M(\overline{Ω})

in the sense of Radon measures of \overline{Ω}.

この補題と、重心写像

F : M → R^{2}, F (u) = \frac{∫_{Ω} z|∇u|^{2}dz}{∫_{Ω} |∇u|^{2}dz} , z = (x, y)

を用いて、 Ω の位相的性質を、\overline{S} に十分近い範囲の M の要素の全体 M^{\overline{S}+ε}(ε > 0 small) に遺伝させることができる。上の補題は、より一般的な,‘等周不等式に対する Concentration-Compactness Lemma’ から導かれる。

２つの sub-level sets の間の位相的相違をもたらす path は、

u_{t}^{σ,z̃}(z) := \frac{2(1 − t)}{(1 − t)^{2} + |z − z̃ − tσ|^{2}} ( \begin{matrix}x − x̃ − tx_{0} \\ y − ỹ − ty_{0} \\ t − 1 \end{matrix} )

where z = (x, y), z̃ = (x̃, ỹ) ∈ R^{2}, t ∈ [0, 1), σ = (x_{0}, y_{0}) ∈ {|z| = 1} に適当な cut off 関数をかけたものから構成する。

References

[BaC] A. Bahri, and J.M. Coron. On a nonlinear elliptic equation involving the critical Sobolev exponent: the effect of the topology of the domain, Comm. Pure Apll. Math. 41 (1988) 253-294.

[BC1] H. Brezis, and J.M. Coron. Multiple solutions of H-systems and Rellich’s conjecture, Comm. Pure Apll. Math. 37 (1984) 149-187.

[BC2] H. Brezis, and J.M. Coron. Convergence of solutions of H-systems or how to blow bubbles, Arch. Rat. Mech. Anal. 89 (1985) 21-56.

[Co] J.M. Coron. Topologie et cas limite des injections de Sobolev, C. R. Acad. Paris Ser. I. 299 (1984) 209-212.

[Pa] D. Pasasseo. Relative category and multiplicity of positive solutions for the equation Δu + u^{2^{∗}−1} = 0, Nonlinear Anal. T.M.A 33 (1998) 509-517.

[W] H. Wente. The differential equation Δx = 2Hx_{u} ∧ x_{v} with vanishing boundary values, Proc. Amer. Math. Soc. 50 (1975) 131-137.