非線形 SCHRÖDINGER 方程式の時間に関する漸近展開

和田健志 (大阪大理)

非線形 Schrödinger 方程式

\begin{aligned}iu_{t} + (1/2)Δu & = f(u), \\ u(0, x) & = u_{0}(x). \end{aligned}  (1)

の時間大域的な挙動について考える．ここで f(u) = λ(V ∗ |u|^{2})u, V (x) = |x|^{−γ}, λ ∈ R, 0 < γ < n である. 非線形項 f(u) は Hartree 型と呼ばれる非局所的な相互作用である．

この方程式の解の漸近挙動は非線形項に現れるポテンシャル V のクラスによって異なる． γ > 1 の場合 V は近距離型であると言い，この場合解は（時間大域的に存在する場合）時刻無限大で線形方程式の解に漸近していく．実際，次が知られている． U(t) = exp(itΔ/2) を自由粒子の発展作用素とすると

(i) 1 < γ < 2 のとき L^{2,1} において， 1 < γ < min(4, n) のとき H^{1} ∩ L^{2,1} において波動作用素が存在する;

(ii) λ > 0 または u_{0} が十分小さいときある ϕ が存在して

lim_{t→∞} ∥u(t) − U(t)ϕ∥_{2} = 0;  (2)

(iii) λ > 0 かつ γ > 4/3 ならば波動作用素は上記の空間で完全である．詳しくは [2, 8, 9, 12] を参照.

これに対して γ ≤ 1 の場合 V は遠距離型と呼ばれ，解の挙動は近距離型の場合と大きく異なる．実際，非自明な解に対して (2) をみたす ϕ は存在しない．そこで Dollard 型の修正因子

S(t, ξ) = (V ∗ |ϕ̂|^{2})(ξ) ∫_{1}^{t} τ^{−γ}dτ

を導入し， (1) の解は

lim_{t→∞} ∥u(t) − U(t) exp[−iS(t, −i∇)]ϕ∥_{2} = 0  (3)

の様に振る舞うことを期待する．実際以下が知られている． (iv) 1/2 < γ ≤ 1 ならば適当な意味で修正波動作用素が存在する [3, 1, 13];

(v) 1/2 < γ ≤ 1 で u_{0} が十分小さければ ϕ が存在して u(t) は (3) を満たす [4, 5, 6, 7, 10, 14];

(vi) 0 < γ ≤ 1 で u_{0} が十分小さければ (1) の解 u(t) は

u(t, x) = (it)^{−n/2} exp[(i|x|^{2}/2t) − iS(t, x/t) + O(t^{1−2γ})] ϕ̂(x/t) + o(t^{−n/2})

の形の漸近形をもつ [5, 6].

以上により解の profile は知られるわけであるが，解の漸近展開の第 2 項以後は上の結果からは分からない．本講演ではこの問題を考えたい．最近九州大学の北直泰氏は冪乗型の非線形項をもつ非線形 Schrödinger 方程式で非線形項が近距離型に相当する場合を考察し，方程式を積分型に書き直して非線形項を stationary phase method で展開することにより漸近展開の第 2 項を求めた [11]. ただし彼の方法は最も重要と考えられる γ = 1 の場合に適用することが出来ない．この場合を解決するのが本講演の目的である．以下に得られた結果を述べる．最初に近距離型の場合であるが

Theorem 1. n ≥ 2, 1 < γ < 2, s > n/2 とし， u_{0} ∈ L^{2,s} は十分小さいとする． (1) の解 u(t) に対して ϕ ∈ L^{2,s} が存在して

∥U(−t)u(t) − ϕ − i(γ − 1)^{−1}t^{1−γ}F^{−1}f(ϕ̂)∥_{L^{2,s}} = o(t^{1−γ})  (4)

を満たす. さらに s > (n/2) + 2(γ − 1) とすると L^{∞} において

\begin{aligned}u(t, x) & = (it)^{−n/2} exp(i|x|^{2}/2t)\{ϕ̂(x/t) − i(γ − 1)^{−1}t^{1−γ}(F^{−1}f(ϕ̂))(x/t)\} \\ & + o(t^{−(n/2)+1−γ}) \end{aligned}  (5)

が成り立つ．

続いて遠距離型の場合として

Theorem 2. n ≥ 2, γ = 1, s > (n/2) + 2 とし， u_{0} ∈ L^{2,s} は十分小さいとする． (1) の解 u(t) に対して ϕ ∈ L^{2,σ} が存在して

∥U(−t)u(t) − exp[−iS̃(t, −i∇)]{ϕ + t^{−1}∑_{j=0}^{1}ϕ_{1,j}(log t)^{j}}∥_{L^{2,σ′}} = o(t^{−1})  (6)

となる．ここで n/2 < σ′ < σ − 2 < s − 2,

S_{0} = V ∗ |ϕ̂|^{2},
ϕ̂_{1,1} = −i[V ∗ (ΔS_{0}|ϕ̂|^{2}) + V ∗ (∇S_{0} · ∇ ¯ϕ̂ϕ̂ + ∇S_{0} · ∇ϕ̂ ¯ ϕ̂) − |∇S_{0}|^{2}] ϕ̂,
ϕ̂_{1,0} = −(V ∗ (ϕ̂Δ ¯ϕ̂) ϕ̂ + (V ∗ |∇ϕ̂|^{2}) ϕ̂ + ∇S_{0} · ∇ϕ̂) + ϕ̂_{1,1},
S̃(t, ξ) = S_{0}(ξ) log t − t^{−1}V ∗ [ϕ̂¯ϕ̂_{1,0} + ¯ ϕ̂ϕ̂_{1,0}].

さらに

Theorem 3. Theorem 2 の仮定のもと， L^{∞} において

\begin{aligned}u(t, x) & = (it)^{−n/2} exp((i|x|^{2}/2t) − iS̃(t, x/t))\{ϕ̂(x/t) + t^{−1}∑_{j=0}^{2}ψ_{1,j}(x/t)(log t)^{j}\} \\ & + o(t^{−(n/2)−1}). \end{aligned} (7)

ここで ϕ, S̃ は Theorem 2 で述べられたもの， ψ_{1,j} は

ψ_{1,2} = \frac{i}{2}|∇S_{0}|^{2}ϕ̂,
ψ_{1,1} = −\frac{1}{2}(ΔS_{0}ϕ̂ + 2∇S_{0} · ∇ϕ̂) + ϕ̂_{1,1},
ψ_{1,0} = −\frac{i}{2}Δϕ̂ + ϕ̂_{1,0}

である．

References

[1] J. Ginibre and T. Ozawa, Comm. Math. Phys. 151 (1993), 619–645.

[2] J. Ginibre and G. Velo, Math. Z. 170 (1980), 109–136.

[3] J. Ginibre and G. Velo, Rev. Math. Phys. 12 (2000), 361–429.

[4] N. Hayashi and P. I. Naumkin, Amer. J. Math. 120 (1998), 369–389.

[5] N. Hayashi and P. I. Naumkin, Scattering theory and large time asymptotics of solutions to the Hartree type equations with long range potential, preprint.

[6] N. Hayashi and P. I. Naumkin, SUT J. Math. 34 (1998), 13–24.

[7] N. Hayashi, P. I. Naumkin and T. Ozawa, SIAM J. Math. Anal. 29 (1998), 1256–1267.

[8] N. Hayashi and T. Ozawa, Ann. Inst. H. Poincaré Phys. Théor. 48 (1988), 17–37.

[9] N. Hayashi and Y. Tsutsumi, Ann. Inst. H. Poincaré Phys. Théor. 46 (1987), 187–213.

[10] H. Hirata, Tokyo J. Math. 18 (1995), 167–177.

[11] N. Kita, Sharp L^{r} asymptotics of the solutions to nonlinear Schrödinger equations, preprint.

[12] H. Nawa and T. Ozawa, Comm. Math. Phys. 146 (1992), 259–275.

[13] T. Ozawa, Comm. Math. Phys. 139 (1991), 479–493.

[14] T. Wada, Kyushu J. Math. 54 (2000), 171–179.