流体方程式の非線形項の半空間上でのある評価

吉田 拓^{∗}

2001 年 2 月 24 日

1 Introduction

N 次元 Euclid 空間 R^{N} 上の領域 Ω を流れる非圧縮性粘性流は, 時刻 t と Ω の各点 x での速度ベクトル u(x, t) = (u_{1}(x, t), u_{2}(x, t), ⋯, u_{N}(x, t)) と圧力 p(x, t) によって特徴付けられる. 速度ベクトルと圧力の組 {u(x, t), p(x, t)} は次の Navier-Stokes 方程式に支配される.

(N − S) \{ \begin{matrix}\frac{∂u}{∂t} − Δu + u · ∇u + ∇p = 0, & t > 0, x ∈ Ω, \\ div u = 0, & t > 0, x ∈ Ω, \\ u(0, x) = u_{0}(x), & t = 0, x ∈ Ω, \\ u(t, x) = 0, & t > 0, x ∈ ∂Ω. \end{matrix}

ここで u·∇u の第 i 成分は ∑_{j=1}^{N} u_{j}(x)\frac{∂}{∂x_{j}} u_{i}(x) であり Δu は N 次元 Laplacian を意味し

Δu_{i}(x) = ∑_{j=1}^{N} \frac{∂^{2}}{∂x_{j}^{2}} u_{i}(x) である. ∇p = (\frac{∂p}{∂x_{1}} , \frac{∂p}{∂x_{2}} , ⋯, \frac{∂p}{∂x_{N}} ) であり div u = ∑_{j=1}^{N} \frac{∂}{∂x_{j}} u_{j}(x)

である. 第 1 番目の方程式は運動量保存則を表わし第 2 番目の方程式は非圧縮性条件を表わしている.

初期値が小さいなど, 限定された状況の下での解析的な研究には多くの結果があり, 空間次元が 2 次元の場合の問題は時間大域的可能性が得られている. しかしながら 3 次元 Navier-Stokes 方程式の解の大域的適切性は未解決で, この問題には多くの注目が集まっている.^{1} この未解決問題を考える上で, 解の正則性に関する先見評価を得ることが重要であるが, 流体方程式固有の非線形項 u · ∇u によって, こうした評価を得ることは非常に難しい.

ここでは, こうした非線形項へのより良い正則性 (可積分性) の条件を得ることを考える. u を Navier-Stokes 方程式の解とすると u はエネルギー方程式

∗九州大学大学院数理学研究府数理学専攻修士課程

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∥u(t)∥_{L^{2}(Ω)}^{2} + 2 ∫_{0}^{t} ∥∇u(τ)∥_{L^{2}(Ω)}^{2}dτ ≤ ∥u_{0}∥_{L^{2}(Ω)}^{2} a.e. t

をみたす. これより L^{∞}(0, ∞ : L^{2}) ∩ L^{2}(0, ∞ : Ḣ^{1}) の元である時間大域的な弱解の存在が証明される. すると, 非線形項は Hölder 不等式

∥u · ∇v∥_{L^{1}(Ω)} ≤ C_{N}∥u∥_{L^{2}(Ω)}∥∇v∥_{L^{2}(Ω)}_{.}

により L^{1}(Ω) に入ることがわかる. ここでは, 問題を半空間 R_{+}^{N} 上に限り, Navier-Stokes 方程式

(N − S) \{ \begin{matrix}\frac{∂u}{∂t} − Δu + u · ∇u + ∇p = 0, & t > 0, x ∈ R_{+}^{N}, \\ div u = 0, & t > 0, x ∈ R_{+}^{N}, \\ u(0, x) = u_{0}(x), & t = 0, x ∈ R_{+}^{N}, \\ u(t, x) = 0, & t > 0, x ∈ ∂R_{+}^{N}. \end{matrix}

における非線形項 u · ∇u に対する, より良い評価を実解析の方法により得ることを試しみる.

得られた結果の概略を説明するために, 全空間と半空間上でのハーディー空間 H^{1}(R^{N}) , H^{1}(R_{+}^{N}) を定義する. f ∈ H^{1}(R^{N}) であるとは ∫_{R^{N}} φ(x)dx = 1 なる φ ∈ S に対し,

∥f∥_{H^{1}(R^{N})} ≡ ∥sup_{t>0} |(φ_{t} ∗ f)(x)|∥_{L^{1}(R^{N})} < ∞ である L^{1}(R^{N}) の元であり, f ∈ H^{1}(R_{+}^{N}) で

あるとは f ∈ L_{loc}^{1}(R_{+}^{N}) かつ, ∥f∥_{H^{1}(R_{+}^{N})} ≡ inf_{f=f̃|_{R^{N}_{+}}} ∥f̃∥_{H^{1}(R^{N})} < ∞ のとき. 得られた結果

の概略は次のとおりである. u ∈ L^{2}(R_{+}^{N}) かつ div u = 0 , v ∈ H_{0}^{1}(R_{+}^{N}) ≡ \overline{C_{0}^{∞}(R_{+}^{N})}^{H^{1}} と仮定すると u · ∇v はハーディー空間 H^{1}(R_{+}^{N}) に入り, 次の不等式が成り立つ.

∥u · ∇v∥_{H^{1}(R_{+}^{N})} ≤ C_{N}∥u∥_{L^{2}(R_{+}^{N})}∥∇v∥_{L^{2}(R_{+}^{N})}_{.} (1)

H^{1}(R_{+}^{N}) は L log L(R_{+}^{N})^{†} に真に含まれ, L log L(R_{+}^{N}) は L^{1}(R_{+}^{N}) に真に含まれる. すなわち H^{1}(R_{+}^{N}) は L^{1}(R_{+}^{N}) に真に含まれるから, L^{1}(R_{+}^{N}) 空間での評価より (1) はより良い非線形項の評価を得たことになる. さらに, C_{0}^{∞} ベクトルの divergence free ベクトルへの射影作用素 P は, 1 < p < ∞ のとき P : L^{p}(R_{+}^{N}) ⟶ L^{p}(R_{+}^{N}) においては有界な作用素に拡張できるが, P : L^{1}(R_{+}^{N}) ⟶ L^{1}(R_{+}^{N}) で有界とはできない. ところが, P : H^{1}(R_{+}^{N}) ⟶ H^{1}(R_{+}^{N}) 有界となるので, Navier-Stokes 方程式を積分方程式に変換し, 解の L^{1} 評価を得る際に, 非線形項の前に含まれる作用素 P を処理する上で, ここで得られた H^{1}(R_{+}^{N}) 上の非線形評価は重要である.

† f ∈ L log L(R_{+}^{N}) であるとは ∫_{R_{+}^{N}} |f(x)| log(e + |f(x)|)dx < ∞ のとき

全空間 R^{N} においては類似の結果

∥u · ∇v∥_{H^{1}(R^{N})} ≤ C_{N}∥u∥_{L^{2}(R^{N})}∥∇v∥_{L^{2}(R^{N})}_{,} (2)

が Coifman-Lions-Meyer-Semmes[1] により得られていた. 我々の結果は, その半空間上への拡張であるが, R^{N} 上での上の評価を Coifman-Lions-Meyer-Semmes による方法とは異なり, 上半空間 R_{+}^{N} 上への調和拡張に対する Carleson 測度による有界性を用いた方法を基礎にして証明する. ここで μ が Carleson measure であるとは, R_{+}^{N+1} 上の Borel measure μ が, ある正の数 δ と R_{+}^{N+1} 上の高さ r の cylinder J(z, r) ≡ B(z, r) × (0, r] に対して μ(J(z, r)) ≤ δ|B(z, r)| , ∀r > 0 , ∀z ∈ R^{N} をみたすときをいう. Carleson measure を用いた証明方法は Chanillo[2] によって示唆されていた. ここでは特に, Carleson measure による調和拡張に対する L^{p} 有界性と Fefferman の定理を用いて求める不等式 (2) が直接得られることを示す. これは Coifman-Lions-Meyer-Semmes の結果の新しい証明を得たことになり, 半空間へ拡張することにより, (1) の不等式が得られる. 近年 Giga-Matsui-Shimizu[3] , Shimizu[4] らの半空間上での線形の評価が知られているため, ここで得られた不等式を用いて Navier-Stokes 方程式の解の t → ∞ での挙動の解析を行うことが期待できる.

参考文献

[1] R.R.Coifman, P.L.Lions, Y.Meyer, S.Semmes, Compensated compactness and Hardy spaces, J. Math. Pures Appl. 72(1993), 247-286.

[2] S.Chanillo, Sobolev inequalities involving divergence, Comm.P.D.E., 16(1991), 1969-1994.

[3] Y.Giga, S.Matsui, Y.Shimizu, On estimates in Hardy spaces for the Stokes flow in a half space, Math. Z. 231(1999), 383-396.

[4] Y.Shimizu, L^{∞}-Estimate of First-Order Space Derivatives of Stokes Flow in a Half Space, Funkcialaj Ekvacioj, 42(1999), 291-309.