制約条件付き変分問題の解の正則性と一致点集合

東京理科大学理学研究科数学専攻 福間健一

開集合 Ω ⊂ ℝ^{n} と関数 u : Ω ⟶ ℝ^{N} について variational integral

F(u) = ∫_{Ω} f(Du)dx

の minimizer の regularity がいろいろな条件の下で調べられてきた． minimizer の概念を局所化したものとして次のような制約条件付き local minimizer を考える：

定義. 与えられた Φ ∈ W_{loc}^{2,∞}(Ω) に対して u ∈ W_{loc}^{1,1}(Ω) が local F-minimizer subject to the constraint Φ であるとは u ≥ Φ a.e. かつ f(Du) ∈ L_{loc}^{1}(Ω) で， supp(u − v) が Ω の compact set となる任意の v ∈ W_{loc}^{1,1}(Ω) に対して v ≥ Φ a.e. ならば

∫_{supp(u−v)} f(Du)dx ≤ ∫_{supp(u−v)} f(Dv)dx

が成り立つことを言う．

最近 Fuchs-Mingione [1] は被積分関数に次の growth condition と elliptic condition を仮定し，制約条件付きの local minimizer に関して full C^{1,α}-regurality を示した． f ∈ C^{2}(ℝ^{nN}) で，任意の η, z ∈ ℝ^{nN} に対して

\{ \begin{matrix}F (|z|) ≤ f(z) ≤ L(1 + |z|^{2})^{\frac{q}{2}} \\ ν|η|^{2}(1 + |z|^{2})^{− \frac{μ}{2}} ≤ D^{2}f(z)(η, η) ≤ L(1 + |z|^{2})^{\frac{q−2}{2}} |η|^{2} \end{matrix}  (1)

とする．ここで， ν > 0, 0 < L < ∞, 1 < q, μ < 2, であり，

q < 2 − μ + \frac{1}{n}.  (2)

F は連続関数で superlinear growth, すなわち F : [0, ∞) ⟶ ℝ で次を満たす

lim_{t→∞} \frac{F (t)}{t} = +∞  (3)

定理.([1]) n ≥ 2, (1)–(3) を仮定する． u ∈ W_{loc}^{1,1}(Ω) が local F-minimizer subject to the constraint Φ であるとすると任意の 0 < α < 1 に対して u ∈ C^{1,α}(Ω) となる．

この論文では [1] の議論を整理するとともに， full C^{1,α}-regurality よりも強い C^{1,1}-regurality について考察し，また coincidence set I_{Φ} := {x ∈ Ω : u(x) = Φ(x)} の性質を調べた．

参考文献

[1] M. Fuchs and G. Mingione, Full C^{1,α}-regurality for free and constrained local minimizers of elliptic variational integrals with nearly linear growth, Manuscripta Math. 102(2000), 227–250.