EXISTENCE OF GLOBAL SOLUTIONS TO SOME SEMILINEAR PARABOLIC EQUATIONS

東京理科大学大学院理学研究科

修士課程数学専攻伊藤直子

本研究では、以下の半線形放物型方程式の初期値問題 (GH) に対する解の存在について考える.

(GH)  \{ \begin{matrix}∂_{t}u(t, x) + (−Δ)^{m}u(t, x) = (u(t, x))^{γ}, & (t, x) ∈ ℝ^{+} × ℝ^{n}, γ > 1, m ∈ ℕ \\ u(0, x) = ϕ(x), & x ∈ ℝ^{n}. \end{matrix}

但し u(t, x) は非負値関数とする. (GH) において m = 1 とすると,

(H)  \{ \begin{matrix}∂_{t}u(t, x) − Δu(t, x) = (u(t, x))^{γ}, & (t, x) ∈ ℝ^{+} × ℝ^{n}, γ > 1 \\ u(0, x) = ϕ(x), & x ∈ ℝ^{n}. \end{matrix}

(H) の第一式は熱方程式を表しているので, (GH) の第一式は熱方程式を一般化した方程式と考えることができる. 熱方程式の解の存在, 非存在については FRED B.WEISSLER [1] など様々な方法で多くの研究が行われている. 本研究では初期値問題 (GH) に対し以下の定理を示した.

定理 1. n,m,γ が\frac{n(γ−1)}{2m} > 1 を満たすものと仮定する. また初期値 ϕ は ϕ ∈ L^{\frac{n(γ−1)}{2m}} (ℝ^{n}) でかつ ϕ ≧ 0 を満たし, さらに ∥ϕ∥_{\frac{n(γ−1)}{2m}} が十分小であるものとする. そのとき, u :[0, ∞) ⟶ L^{\frac{n(γ−1)}{2m}} となるような初期値問題 (GH) に対する非負な時間大域解が一意に存在する.

上の定理は, 初期値 ϕ ∈ L^{\frac{n(γ−1)}{2m}} (ℝ^{n}) が十分小さいとき, 初期値問題 (GH) の時間大域解が存在することを主張している. 本研究では (GH) の第一式を一般化された熱方程式であると捉えることにより, 熱方程式の初期値問題 (H) と同様の方法で解の存在が云えるのではないかと考え, (GH) に対する基本解の評価式を作り, 縮小写像の原理を用いて初期値問題 (GH) に対する解の存在を証明した.

参考文献

[1] FRED B. WEISSLER, Existence and nonexistence of global solutions for a semilinear heat equation, Israel J. Math., 38 (1981),no1-2, pp.29–40.