Inverse scattering problem for the nonlinear Schrödinger equations with cubic convolution nonlinearity

東京都立大学博士課程 3 年渡辺 道之

(t, x) ∈ R × R^{3}、 n ≥ 3 において、次の Schrödinger 方程式

i\frac{∂u}{∂t} = −Δu + V_{0}(x)u + V_{1}(x)(|x|^{−σ} ∗ |u|^{2})u  (1)

を考えよう。ここで V_{0}(x) は実数値関数で遠方で十分速くゼロに近づくもの、実数値関数 V_{1}(x) は有界で十分滑らかなものを想定する。 H_{0} = −Δ、 H = H_{0} + V_{0} とおこう。

V_{1}(x) ≡ 0 の場合の波動作用素を

W_{±} = s − lim_{t→±∞} e^{itH}e^{−itH_{0}}

で、散乱作用素を S_{L} = W_{+}^{∗}W_{−} で定義する。非線形方程式 V_{0}、 V_{1}(x) ≢ 0 の場合、

(S_{N}ϕ)(x) = ϕ(x) + ∫_{−∞}^{∞} e^{itH}V_{1}(|x|^{−σ} ∗ |u|^{2})u(t, x) dt

とおき散乱作用素を S = W_{+}^{∗}S_{N}W_{−} で定義する。以下 σ は条件 2 ≤ σ ≤ 4 かつ σ < n を満たしているとする。 V_{0}、 V_{1} の適当な条件のもとで、 (1) に対する散乱作用素 S は H^{1} のゼロの近傍で定義される (Yajima [4]、 Mochizuki [1])。

ここでは以下の２つの問題を考える。

(i) 散乱作用素 S から V_{0}、 V_{1} を求めよ。 (ii) V_{0}(x) ≡ 0、 V_{1}(x) ≡ 1 の場合について散乱作用素 S から σ を求めよ。

(i) の問題については power nonlinearity |u|^{p−1}u の場合について結果がある (Strauss [2]、 Weder [3])。また、 V_{1}(x) ≡ 0 の場合について S_{L} から V_{0} を再構成できることはよく知られている。

さて、 (1) の場合 V_{0}、 V_{1} はそれぞれつぎのようにして求めることができる。定理 1. 任意の ϕ ∈ H^{1} に対し次が成り立つ。

lim_{ε→0} \frac{1}{ε}S(εϕ) = S_{L}ϕ in H^{1}。

定理 2. λ ∈ R、 x、 x_{0} ∈ R^{n} とし ϕ_{λ}(x) = ϕ(λ(x − x_{0}))、

T [ϕ] := lim_{ε→0} \frac{1}{ε^{3}} ( (S_{N} − I)(εϕ), ϕ)

とおこう。任意の ϕ ∈ H^{1} に対し次が成り立つ。

V_{1}(x_{0}) = \frac{lim_{λ→∞} λ^{2n+2−σ} T [ϕ_{λ}]}{∫_{R} ∫_{R^{n}}(|x|^{−σ} ∗ |e^{−itH}ϕ|^{2})|e^{−itH}ϕ|^{2} dx dt}。

定理 2 を見てわかるように、 V_{1} が求まるためには σ は既知でなければならない。では σ が未知数としたら散乱作用素 S から σ を求めることはできるのだろうか？これが問題 (ii) である。 V_{0} ≡ 0、 V_{1} ≡ 1 の場合を考えよう。このとき σ は次のようにして求めることができる。

定理 3. ϕ_{e}(x) = ϕ(ex) とおこう。任意の ϕ ∈ H^{1} に対して次が成り立つ。

σ = 2n + 2 + log \frac{T [ϕ_{e}]}{T [ϕ]}。

参考文献

[1] Mochizuki, K., On small data scattering with cubic convolution nonlinearity, J. Math. Soc. Japan. 41 (1989), 143–160.

[2] Strauss, W. A., Non linear scattering theory, in ”Scattering Theory in Mathematical Physics”, pp. 53–78. J. A. Lavita and J.-P. Marchand, editors, D. Reidel, Dordrecht-Holland / Boston, 1974

[3] Weder, R., Inverse Scattering for the Nonlinear Schrödinger Equation. Reconstruction of the Potential and the Nonlinearity. Math. Methods. Appl. Sci. 24 (2001), 245–254.

[4] Yajima, K., The W^{k,p}–continuous of wave operator for Schrödinger operators. J. Math. Soc. Japan. 47 (1995), 551–581.