Heat equations with singular potentials

東京理科大学大学院 理学研究科 数学専攻中野 由美子

次の熱方程式の初期値問題の解の存在・非存在について考える:

u ≥ 0 a.e. on R^{N} × (0, T), u, V u ∈ L_{loc}^{1}(R^{N} × (0, T)),

\frac{∂u}{∂t} − Δu = V u + f in D′(R^{N} × (0, T)),

ess lim_{t ↓ 0} ∫_{R^{N}} u(x, t)φ(x) dx = ∫_{R^{N}} u_{0}(x)φ(x) dx ∀ φ ∈ D(R^{N}).

(P)

ここで空間次元 N ≥ 2 とし, 0 ≤ V ∈ L_{loc}^{1}(R^{N}), 0 ≤ f ∈ L^{1}(R^{N} × (0, T)), 0 ≤ u_{0} ∈ L^{1}(R^{N}) と仮定する. 特に, ポテンシャル V は原点に特異性をもつものまで含んでいる.

本研究の目的は, 最近その非線形化が研究され始めている次の定理を丁寧に証明することである.

定理 (Baras-Goldstein [1]). V_{0}(x) := \frac{λ}{|x|^{2}} for x ∈ B_{1} := \{x ∈ R^{N}; |x| < 1\} とおく.

(I) 0 ≤ λ ≤ ((N − 2)/2)^{2}, V ∈ L^{∞}(R^{N} \ B_{1}) で, α は (N − 2 − α)α = λ の小さい方の根とする. (I-1) V ≤ V_{0} on B_{1},

∫_{R^{N}} |x|^{−α}u_{0}(x) dx < ∞, ∫_{0}^{T} ∫_{R^{N}} |x|^{−α}f(x, s) dxds < ∞ (∗)

ならば, 問題 (P) は解をもつ.

(I-2) V ≥ V_{0} on B_{1}, u_{0} ≢ 0 で, 問題 (P) が解をもつならば,

∀ Ω ⊂⊂ R^{N} ∀ ε ∈ (0, T) ∃ C := C(ε, Ω) > 0 ; u(x, t) ≥ \frac{C}{|x|^{α}} a.a. (x, t) ∈ Ω × [ε, T)

が成立し, さらに (∗) で R^{N} を Ω に, T を T − ε に置き換えたものが成立する.

(II) λ > ((N − 2)/2)^{2}, V ≥ V_{0} on B_{1}, u_{0} ≢ 0 ならば, 問題 (P) は解をもたない.

この定理を証明するために, n ∈ N に対して, V_{n} := V ∧ n, f_{n} := f ∧ n とおき, 次の近似方程式を考える:

\begin{cases}\frac{∂u_{n}}{∂t} − Δu_{n} = V_{n}u_{n} + f_{n} in D′(R^{N} × (0, T)), \\ u_{n}(0) = u_{0} in L^{1}(R^{N}). \end{cases} (P_{n})

[1] では, 定理の証明において重要な役割を果たす次の 2 つの事実の証明が省略されている.

(a) 問題 (P_{n}) の解 u_{n} ∈ C([0, T]; L^{1}(R^{N})) の一意存在.

(b) 問題 (P) の解 u と問題 (P_{n}) の解 u_{n} との大小関係 : u ≥ u_{n}. そこで, 本研究では半群の性質を利用して (a) と (b) に対しても明確な証明を与えようと試みた. しかし (b) の証明は予想以上に困難で問題 (P) の解のクラスを少し限定せざるを得なかった.

参考文献

[1] P. Baras and J. A. Goldstein, The heat equation with a singular potential, Trans. Amer. Math. Soc. 284 (1984), 121–139.