1100606

Application of Local Linking to Asymptotically Linear Wave Equations

数学専攻田中 視英子指導教員宮島 静雄

多くの偏微分方程式の解の存在が, 変分問題の解として求められることはよく知られている. その一例として, 多くの著者により, 次の波動方程式 (WE) の周期解が調べられてきた:

(WE) \{ \begin{matrix}□u(x, t) = h(x, t, u) & (0 < x < π, t ∈ ℝ), \\ u(0, t) = u(π, t) = 0 & (t ∈ ℝ), \\ u(x, t + 2π) = u(x, t) & (0 < x < π, t ∈ ℝ). \end{matrix}

ここで, □ = ∂_{tt} − ∂_{xx} である. 最近 Bartsch-Ding [1] は local linking の方法と有限次元空間による近似法により, この場合を含む方程式を扱った.

この方程式の非自明解は, 次の Hilbert 空間 E 上の汎関数 Φ の 0 以外の臨界点として得られる:

E := \{u(x, t) = ∑_{j=1}^{∞} ∑_{k=−∞}^{∞} u_{kj} sin(jx)e^{ikt} : \overline{u_{kj}} = u_{−kj}, ∥u∥_{E} < ∞\},

∥u∥_{E}^{2} := π^{2} ∑_{j≠|k|} |j^{2} − k^{2}| · |u_{kj}|^{2} + π^{2} ∑_{j≠|k|} |u_{kj}|^{2},

Φ(u) := \frac{1}{2} ∫_{Q}(u_{x}^{2} − u_{t}^{2})dxdt − ∫_{Q} dxdt ∫_{0}^{u(x,t)} h(x, t, s)ds (Q := (0, π) × (0, 2π)).

[1] では h として次の (h1)–(h3) を満たすものを考え, 更に, 追加的な仮定の下で (WE) の非自明解の存在を示している:

(h1) h は連続で, h(x, t + 2π, ξ) = h(x, t, ξ) ((x, t, ξ) ∈ [0, π] × ℝ^{2}), (h2) h は ξ に関して単調増加で, h(x, t, ξ) ≠ 0 (ξ ≠ 0), (h3) ある b_{0} ≥ 0, b > 0 が存在し, 次を満たす:

g_{0}(x, t, ξ) := h(x, t, ξ) − b_{0}ξ = o(|ξ|) as ξ → 0 uniformly in (x, t), g(x, t, ξ) := h(x, t, ξ) − bξ = o(|ξ|) as |ξ| → ∞ uniformly in (x, t).

b, b_{0} が σ(□) に属するときが特に微妙で, [1] では b ∈ σ(□) のときは g が有界の場合に限定されている. そこで, この論文では [1] の不備を補う他 [1, Theorem 2.1] を一般化することにより, 例えば, b ∈ σ(□) で b_{0} < b のときに g が有界でなく, 次の仮定 (∗) を満たす場合にも (WE) の非自明解の存在を示すことができた.

(∗) \{ \begin{matrix}0 < α ≤ β < 1 (β − \frac{α}{2} < \frac{1}{2}), c_{1}, c_{2} > 0, d_{1}, d_{2} ≥ 0 が存在して次を満たす: \\ c_{1}|ξ|^{α} − d_{1} ≤ |g(x, t, ξ)| ≤ c_{2}|ξ|^{β} + d_{2}. \end{matrix}

参考文献

[1] T. Bartsch and Y. H. Ding, Critical-Point Theory with Applications to Asymptotically Linear Wave and Beam Equations, Differential and Integral Equations 13(2000), 973–1000.