Complex Ginzburg-Landau type p-heat equations with singular potentials

横田智巳

東京理科大学理学研究科数学専攻 D3

           E-mail: yokota@minserver.ma.kagu.sut.ac.jp

1. 序

Ω は R^{N} (N ∈ N) の有界領域とする． L^{2}(Ω) := L^{2}(Ω; C) において次の初期値境界値問題の解の存在について考える：

\frac{∂u}{∂t} − (λ + iα)Δ_{p}u + (κ + iβ)\frac{1}{|x|^{p}} |u|^{p−2}u = 0 on Ω × (0, ∞),
u = 0  on ∂Ω × (0, ∞),
u(x, 0) = u_{0}(x),  x ∈ Ω.

(P)

ここで， Δ_{p}u := div(|∇u|^{p−2}∇u)， 1 < p < ∞， λ > 0， κ > 0， α, β ∈ R で， u は (x, t) ∈ \overline{Ω} × [0, ∞) を変数とする複素数値の未知関数である． (P) で特に α = β = 0 とおいて得られる熱方程式の解の存在・非存在については， p = 2 のとき Baras-Goldstein [2] によって， 1 < p < N のとき Aguilar Crespo & Peral Alonso [1]， Garcia Azorero & Peral Alonso [6] によって，それぞれ研究されている． (P) は方程式の拡散項と反応項の前に複素係数がかかったものであり， [1]， [2]， [6] の方法は直接使えない．一方， (P) における方程式によく似た方程式として [8] で扱われている複素 Ginzburg-Landau 型方程式

\frac{∂u}{∂t} − (λ + iα)Δ_{p}u + (κ + iβ)|u|^{q−2}u − γu = 0 (CGL)_{p}

があげられる．特に (CGL)_{2} が複素 Ginzburg-Landau 方程式である． [8] では劣微分作用素の理論（Brezis [3]， [4]）を複素化することにより， (CGL)_{p} の解作用素の平滑化効果（初期値 u_{0} ∈ L^{2}(Ω) に対する強解の存在）が証明されている．本講演では， [8] の方法を少し修正し， p ≥ N のときも含めて (P) の解の存在と平滑化効果を証明したい． 2. 抽象的設定

複素 Hilbert 空間 H := L^{2}(Ω) = L^{2}(Ω; C) （内積，ノルムをそれぞれ (·, ·)， ∥ · ∥ とあらわす）において， 2 つの適正下半連続凸関数 φ, ψ : H → [0, ∞] を次のように定義する：

φ(u) := \begin{cases}\frac{1}{p} ∫_{Ω} |∇u(x)|^{p} dx & if u ∈ D(φ) := W_{0}^{1,p}(Ω) ∩ H, \\ ∞ & otherwise, \end{cases}

ψ(u) := \begin{cases}\frac{1}{p} ∫_{Ω} \frac{|u(x)|^{p}}{|x|^{p}} dx & if u ∈ D(ψ) := \{u ∈ H; \frac{u}{|x|} ∈ L^{p}(Ω)\}, \\ ∞ & otherwise. \end{cases}

このとき， φ, ψ の劣微分 ∂φ, ∂ψ はそれぞれ次のように与えられる：

∂φ(u) = −Δ_{p}u for u ∈ D(∂φ) := {u ∈ D(φ); Δ_{p}u ∈ H},

∂ψ(u) = \frac{1}{|x|^{p}} |u|^{p−2}u for u ∈ D(∂ψ) := \{u ∈ D(ψ); \frac{1}{|x|^{p}} |u|^{p−2}u ∈ H\}.

したがって， (P) は次のような抽象的発展方程式の初期値問題とみなされる：

\{ \begin{matrix}\frac{du}{dt} + (λ + iα)∂φ(u) + (κ + iβ)∂ψ(u) & = 0, t > 0, \\ u(0) & = u_{0}. \end{matrix} (ACP)

第 3 節では， D(∂φ) ∩ D(∂ψ) を定義域とする作用素 (λ + iα)∂φ + (κ + iβ)∂ψ が H で極大単調であることを示し，任意の初期値 u_{0} ∈ D(∂φ) ∩ D(∂ψ) に対して (ACP) の大域的強解が一意的に存在することを示す．第 4 節では，解のアプリオリ評価を準備して，許される初期値の範囲を H 全体に拡げる．

3. (λ + iα)∂φ + (κ + iβ)∂ψ の極大単調性

作用素 A が H で極大単調であるとは次をみたすときをいう：

Re(Au_{1} − Au_{2}, u_{1} − u_{2}) ≥ 0 for u_{1}, u_{2} ∈ D(A),
R(ζ + A) = H for ζ ∈ C with Re ζ > 0.

(λ + iα)∂φ + (κ + iβ)∂ψ の極大単調性を示すために 2 つの補題を準備する．補題 3.1. λ > 0， κ > 0， c_{p} := \frac{|p − 2|}{2\sqrt{p − 1}} (1 < p < ∞) とする．そのとき

(i) \frac{|α|}{λ} ≤ \frac{1}{c_{p}} ならば， (λ + iα)∂φ は H で極大単調である．

(ii) \frac{|β|}{κ} ≤ \frac{1}{c_{p}} ならば， (κ + iβ)(∂ψ)_{n} (n ∈ N) は H で極大単調である．ここで， (∂ψ)_{n} は ∂ψ の吉田近似である： (∂ψ)_{n} := n(1 − (1 + n^{−1}∂ψ)^{−1})．

補題 3.2. 1 < p < ∞， λ > 0，\frac{|α|}{λ} < \frac{1}{c_{p}} とする．そのとき

Re(λ + iα)(∂φ(u), (∂ψ)_{n}u) ≥ −c(λ, α, p)∥(∂ψ)_{n}u∥^{2}, u ∈ D(∂φ), n ∈ N

が成立する．ここで， c(λ, α, p) は次で与えられる定数である：

c(λ, α, p) := \begin{cases}\frac{(λ + \sqrt{p − 1}|α|)^{p}}{(λ − c_{p}|α|)^{p−1}} & if 1 < p < 2 ≤ N, \\ (p − 1)^{p−1} \frac{(λ + \frac{1}{\sqrt{p−1}}|α|)^{p}}{(λ − c_{p}|α|)^{p−1}} & if 2 ≤ p < ∞. \end{cases}

さて， (λ+iα)∂φ+(κ+iβ)∂ψ の極大単調性を証明しよう． λ > 0， κ > 0， \frac{|α|}{λ} < \frac{1}{c_{p}} ，\frac{|β|}{κ} ≤ \frac{1}{c_{p}} とする．単調性は補題 3.1 (i) と (ii) で n → ∞ としたものから明らかである．極大性を示すために次の近似方程式を考える：

u_{n} + (λ + iα)∂φ(u_{n}) + (κ + iβ)(∂ψ)_{n}u_{n} = f. (3.1)

(κ + iβ)(∂ψ)_{n} が H 上単調かつ Lipschitz 連続であるから，任意の n ∈ N と f ∈ H に対して (3.1) が一意解 u_{n} ∈ D(∂φ) をもつことは容易に示される．次に， (3.1) と (∂ψ)_{n}u_{n} との内積の実部をとると

Re((∂ψ)_{n}u_{n}, u_{n}) + Re(λ + iα)(∂φ(u_{n}), (∂ψ)_{n}u_{n}) + κ∥(∂ψ)_{n}u_{n}∥^{2}
= Re((∂ψ)_{n}u_{n}, f)

が得られる．左辺第 1 項は非負であることに注意し，左辺第 2 項に補題 3.2 を，右辺に Schwarz の不等式を適用すれば

(κ − c(λ, α, p))∥(∂ψ)_{n}u_{n}∥ ≤ ∥f∥

が得られる．したがって， κ > c(λ, α, p) ならば {∥(∂ψ)_{n}u_{n}∥} は有界であり， Brezis-Crandall-Pazy の定理 [5, Theorem 2.1] （Showalter [9, Proposition IV.2.1] も参照）により (λ + iα)∂φ + (κ + iβ)∂ψ が極大単調であることが従う．さらに，非線形半群理論（Kato [7]， [9, Proposition IV.3.1]）を用いると次の定理が得られる．

定理 3.3. 1 < p < ∞， λ > 0， κ > 0，\frac{|α|}{λ} < \frac{1}{c_{p}} ，\frac{|β|}{κ} ≤ \frac{1}{c_{p}} ， κ > c(λ, α, p)

(c_{p}, c(λ, α, p) はそれぞれ補題 3.1，補題 3.2 で与えた定数 ) とする．そのとき，任意の初期値 u_{0} ∈ D(∂φ) ∩ D(∂ψ) に対して，次の性質をもつような (ACP) の大域的強解 u(·) が一意的に存在する：

(i) u(·) ∈ C^{0,1}([0, ∞); H).

(ii) u(t) ∈ D(∂φ) ∩ D(∂ψ) ∀ t ≥ 0.

(iii) ∂φ(u(·)), ∂ψ(u(·)), (du/dt)(·) ∈ L^{∞}(0, ∞; H).

(iv) u(·) は (0, ∞) 上 a.e. で強微分可能で (ACP) をみたす．

(v) u(·) は [0, ∞) 上右微分可能で

d^{+}u/dt + (λ + iα)∂φ(u) + (κ + iβ)∂ψ(u) = 0.

(vi) 関数 t ↦ ∥(d^{+}u/dt)(t)∥ は [0, ∞) 上非増加である．

(vii) v(·) を初期値 v_{0} ∈ D(∂φ) ∩ D(∂ψ) に対する (ACP) の解とすると

∥u(t) − v(t)∥ ≤ ∥u_{0} − v_{0}∥ ∀ t ≥ 0

が成立する．

4. 解作用素の平滑化効果

まず，次の補題を準備する．

補題 4.1. 定理 3.3 の仮定がみたされているとし， u(·) を初期値 u_{0} ∈ D(∂φ)∩ D(∂ψ) に対する (ACP) の解とする．そのとき，次の不等式が成立する：

∥∂φ(u(t))∥ + ∥∂ψ(u(t))∥ ≤ \frac{K}{t} ∥u_{0}∥ ∀ t > 0. (4.1)

ここで， K は λ, κ, α, β, p にのみ依存した正定数である．

次に，稠密性（\overline{D(∂φ) ∩ D(∂ψ)} = H）と劣微分作用素の demiclosedness により，許される初期値の範囲を H 全体に拡げることができる：

定理 4.2. 定理 3.3 の仮定がみたされているとする．そのとき，任意の初期値 u_{0} ∈ H に対して，次の性質をもつような (ACP) の大域的強解 u(·) が一意的に存在する：

(i) u(·) ∈ C([0, ∞); H) ∩ C^{0,1}([δ, ∞); H) ∀ δ > 0. (ii) u(t) ∈ D(∂φ) ∩ D(∂ψ) ∀ t > 0. (iii) ∂φ(u(·)), ∂ψ(u(·)), (du/dt)(·) ∈ L^{∞}(δ, ∞; H) ∀ δ > 0．さらに (4.1)

が成立する.

(iv) u(·) は (0, ∞) 上 a.e. で強微分可能で (ACP) をみたす．

(v) u(·) は (0, ∞) 上右微分可能で

d^{+}u/dt + (λ + iα)∂φ(u) + (κ + iβ)∂ψ(u) = 0.

(vi) 関数 t ↦ ∥(d^{+}u/dt)(t)∥ は (0, ∞) 上非増加である． (vii) v(·) を初期値 v_{0} ∈ H に対する (ACP) の解とすると

∥u(t) − v(t)∥ ≤ ∥u_{0} − v_{0}∥ ∀ t ≥ 0

が成立する．

参考文献

[1] J. A. Aguilar Crespo and I. Peral Alonso, Global behavior of the Cauchy problem for some critical nonlinear parabolic equations, SIAM J. Math. Anal. 31 (2000), 1270–1294.

[2] P. Baras and J. A. Goldstein, The heat equation with a singular potential, Trans. Amer. Math. Soc. 284 (1984), 121–139.

[3] H. Brezis, “Operateurs Maximaux Monotones et semi-groupes de contractions dans les espaces de Hilbert,” Mathematics Studies, 5, North-Holland/American Elsevier, New York, 1973.

[4] H. Brezis, Monotonicity methods in Hilbert spaces and some applications to nonlinear partial differential equations, Symposium on Nonlinear Functional Analysis (Madison, 1971), 101–156, Contribution to Nonlinear Functional Analysis, Academic Press, New York, 1971.

[5] H. Brezis, M. Crandall and A. Pazy, Perturbations of nonlinear maximal monotone sets in Banach spaces, Comm. Pure Appl. Math. 23 (1970), 123–144.

[6] J. P. Garcia Azorero and I. Peral Alonso, Hardy inequalities and some critical elliptic and parabolic problems, J. Differential Equations 144 (1998), 441–476.

[7] T. Kato, Nonlinear semigroups and evolution equations, J. Math. Soc. Japan 19 (1967), 508–520.

[8] N. Okazawa and T. Yokota, Global existence and smoothing effect for the complex Ginzburg-Landau equation with p-Laplacian, preprint (2000).

[9] R. E. Showalter, “Monotone Operators in Banach Space and Nonlinear Partial Differential Equations,” Math. Surv. Mono. vol. 49, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1997.