Stochastic Approach to Distribution of Pseudo-primes in SL(2, Q_{p})

{安田公美 \atop （九州大学大学院数理学研究院）}

2002 年 7 月 27 日

Γ を G = SL(2, Q_{p})/{±I} の自明でない不連続群であって，対角行列に共役な元のみからなるものとする．各 γ ∈ Γ はある g_{γ} ∈ G と |a_{γ}|_{p} ≥ 1 なる

a_{γ} ∈ Q_{p} を用いて γ = g_{γ}^{−1} ( \begin{matrix}a_{γ} & 0 \\ 0 & a_{γ}^{−1} \end{matrix} ) g_{γ} と書けるから， N (γ) = |a_{γ}|_{p}^{2}

とおくことにする． γ, γ′ ∈ Γ に対し， γ がねじれを除いて γ′ に Γ - 共役なとき γ ≈ γ′ と書くことにし， ≈ に関する primitive な元の代表元集合をとり， P とおく．本講演では， p 進上半平面上の跡公式を通じて，マルコフ過程の生成作用素の解析から ”pseudo-prime” N (γ_{0}) (γ_{0} ∈ P) の分布を導く．

奇素数 p を固定する． p 進体 Q_{p} における 1 の原始 p − 1 乗根の一つを ε とし， Q_{p} に ε の２乗根\sqrt{ε} を添加して得られる２次拡大体を K とする． Q_{p} の元であって， K の 0 でない元 w = u + \sqrt{ε}v とその共役元 \overline{w} = u − \sqrt{ε}v の積に書き表されるもの全体を Q_{p}^{+} とおき， p 進上半平面 H_{p}(⊂ K) を次で定義する：H_{p}^{+} := \{z = x+\sqrt{ε}y : y ∈ Q_{p}^{+}\}．上半平面 H_{p}^{+}

には，群 G の作用 ( \begin{matrix}a & b \\ c & d \end{matrix} ) : z ↦ \frac{az+c}{bz+d} に関する不変距離 d と不変測

度 μ が入り， ψ(r) = e^{r}+e^{−r}−2 とするとき， Range(d) = ψ^{−1} (p^{2Z})∪{0}．

以下， Γ\H_{p}^{+} はコンパクトと仮定し， Γ に対する基本領域を F ⊂ H_{p}^{+} とする． l ≤ 0 に対し， F と交わる半径 ψ^{−1} (p^{2l}) の球を B_{i}^{(l)} (i = 1, …, d_{l}) とする． Range(d) 上定義され， 0 で連続で，次の条件をみたす非負な関数 f が与えられたとする：

∑_{n≤−1} p^{2n}f (ψ^{−1} (p^{2n}))^{2} < +∞,

∑_{n≥0} τ(i, j, n)f (ψ^{−1} (p^{2n})) < +∞, 1 ≤ i, j ≤ d_{−1},

ただし， τ(i, j, n) := ♯ {γ ∈ Γ : d (B_{i}^{(−1)}, γB_{j}^{(−1)}) = ψ^{−1} (p^{2n})}．このとき， p(z, w) = f(d(z, w)) (z, w ∈ H_{p}^{+})， p̃(z, w) = ∑_{γ∈Γ} p(z, γw) (z, w ∈ F) とおけば， p̃ は F × F 上一様収束し，２乗可積分となる． Hilbert-Schmidt 型積分作用素

T ξ(·) = ∫_{F} ξ(·)p̃(·, w)μ(dw), ξ ∈ L^{2}(F)

が正定値であるとき，その固有値 {λ_{n}} に対し，次の跡公式が成立する．

(\underline{Theorem}) / (∑_{n} λ_{n})

= f(0)μ(F)

+\frac{2}{p − 1} \{f (ψ^{−1}(1)) + (1 − p^{−1}) ∑_{r=1}^{∞} p^{r}f (ψ^{−1} (p^{2r}))\} ∑_{{\{γ\} \atop torsion}} j_{γ}l_{γ}

+ ∑_{γ_{0}∈P} ∑_{m=1}^{∞} \frac{log_{p} N (γ_{0})}{2} \{ f (ψ^{−1} (N (γ_{0})^{m}))

+ (1 − p^{−1}) ∑_{r=1}^{∞} p^{r}f (ψ^{−1} (N (γ_{0})^{m}p^{2r})) } .

ただし， j_{γ}, l_{γ} は γ から定まる自然数で， γ の中心化群を Γ_{γ} とすれば，

Γ_{γ} = \{g_{γ}^{−1} ( \begin{matrix}ε & 0 \\ 0 & ε^{−1} \end{matrix} )^{kl_{γ}} ( \begin{matrix}b_{γ} & 0 \\ 0 & b_{γ}^{−1} \end{matrix} )^{n} g_{γ} : k, n ∈ Z\} ,

∃b_{γ} ∈ Q_{p} with |b_{γ}|_{p} = p^{j_{γ}}. Z 上で定義された非負な関数 u であって，

∑_{n=0}^{∞} u(n) < +∞,

∑_{n=−∞}^{−1} p^{−2n}exp (−t (u(n) + (1 − p^{−2}) ∑_{m=n+1}^{∞} u(m))) < +∞,

をみたすものが与えられるごとに，上半平面上のマルコフ過程 X_{t} であって，遷移関数 P_{t} が μ に関して絶対連続，かつ，遷移密度関数 p_{t} が２点間の距離のみに依存するものが定まる．そこで， p_{t}(z, w) = f_{t}(d(z, w)) (z, w ∈ H_{p}^{+}) とし， f = f_{t} に対して上の跡公式を応用することを考える．マルコフ過程 X_{t} に対応する半群 T_{t} の生成作用素 −A の固有値を求める一方，遷移密度関数を与える f_{t} に関しては， u(n) = 0 (∀n ≥ 1) の場合には具体的に与えられ， u(n) = 0 (∀n ≥ 2) の場合には，そのラプラス変換を求めることが出来る． u(n) = 0 (∀n ≥ 1), u(0) ≠ 0 の場合に跡公式を適用し，時間変数 t → +∞ のときの極限を見ることにより， torsion γ に対する式

d_{0} = μ(F) + 2(p − 1)^{−1} ∑_{{\{γ\} \atop torsion}} j_{γ}l_{γ}

を得る．一方， u(n) = 0 (∀n ≥ 2) の場合に，跡公式の両辺のラプラス変換を比較し，上の torsion に関する式を代入することにより， {∑_{n|m} nν (p^{2n})}_{m≥1} （ただし， ν (p^{2n}) := ♯ {γ_{0} ∈ P : N (γ_{0}) = p^{2n}}）の母関数の表示

∑_{m=1}^{∞} ∑_{n|m} nν (p^{2n}) s^{m} = ∑_{k=1}^{d_{0}} \frac{(p^{−1} − s) (p^{−1} + s)}{s^{2} + (p^{−1} (1 − p^{−1}) − δ_{k}) s + p^{−2}} +\frac{p^{−1}d_{−1}s}{1 − s}−d_{0}

を得る．ただし，ここで δ_{k} (1 ≤ k ≤ d_{0}) は Γ のみから定まる d_{0} × d_{0} 行列 Q^{(1)} = (q_{ij}^{(1)})_{1≤i,j≤d_{0}} (q_{ij}^{(1)} := \frac{p^{−4}}{1−p^{−1}} ♯ \{1 ≤ k ≤ d_{−1} : B_{k}^{(−1)} ⊂ B_{j}^{(0)}\} ×

♯ {γ ∈ Γ : d (B_{i}^{(0)}, γB_{j}^{(0)}) = ψ^{−1} (p^{2})}) の固有値である．上式の右辺を G(s) とおけば， Möbius’ inversion formula を経て次を得る：

\underline{Theorem}

ν (p^{2n}) = \frac{1}{2nπ\sqrt{−1}} ∑_{d|n} 𝔪 (\frac{n}{d}) ∫_{C} \frac{G(s)}{s^{d+1}}ds, n ≥ 1.

ただし， 𝔪 は Möbius の関数， C は複素平面における原点を中心とする十分小さな円周を表す．