複素 Ginzburg-Landau 方程式の解の一意性

横田智巳^{∗} （東京理科大学理学部数学科）

本研究は小川卓克氏 (九州大) との共同研究である.

この講演では次の複素 Ginzburg-Landau 方程式の初期値境界値問題の弱解の一意性について議論する.

\{ \begin{matrix}∂_{t}u − (λ + iα)Δu + (σ + iβ)|u|^{p−1}u − γu = 0, t > 0, x ∈ Ω, \\ u(t, x) = 0,  t > 0, x ∈ ∂Ω, \\ u(0, x) = u_{0}(x),  t = 0, x ∈ Ω. \end{matrix} (1)

ここで Ω は ℝ^{2} の領域とし p > 1, λ ≥ 0 かつ σ, α, β γ は実定数とする. 通常 λ は真に正となることを仮定することが多いが (cf. Temam [5]), ここでは (1) を λ = 0 を含む場合で考える. 全空間 Ω = ℝ^{n} の場合には Ginibre-Velo [1], [2] が λ > 0 に対する (1) の時間大域的適切性を σ > 0 の場合に示していて, この場合 p < ∞ (n = 1, 2) あるいは p ≤ (n + 2)/(n − 2) (n ≥ 3) で係数にはほとんど制限が加えられていない. 彼らはまた条件

|β| ≤ \frac{2\sqrt{p}}{p − 1}σ (2)

の下でも弱解の一意性を証明している. 同様の結果は ℝ^{n} における一般領域 Ω 上での初期値境界値問題 (1) に対しても成立する (Okazawa-Yokota [3]). しかしながら (2) の制限なしでは一般領域上での (1) に対する一意性の結果は知られていないようである. ここでは n = 2, p ≤ 3 の制限の下, (2) の条件を課さずに一意性を示す. 物理的には n = 2, p = 3 の場合が具体的な model に対応していることに注意する.

初期値u_{0} ∈ H_{0}^{1}(Ω)に対して u が(1) の弱解であるとはu ∈ C([0, T); H_{0}^{1}(Ω))∩ C^{1}([0, T); H^{−1}(Ω)) なる u が超函数の意味で (1) を満たすことである. p ≤ 3 のとき (1) の弱解の存在は standard な方法で示される. 一意性に関して以下の定理を得ることができた.

∗E-mail: yokota@rs.kagu.tus.ac.jp

Theorem 1. Ω ⊂ ℝ^{2} を (必ずしも有界でない) 領域とし λ ≥ 0 かつ 1 < p ≤ 3 とする.

(i-a) σ ≥ 0 かつ αβ ≥ 0 (α ≠ 0) のとき, u_{0} ∈ H_{0}^{1}(Ω) に対して (1) の時間大域的弱解 u ∈ C([0, ∞); H_{0}^{1}(Ω)) は一意である.

(i-b) σ ≥ 0 かつ αβ < 0 のとき, u_{0} ∈ H_{0}^{1}(Ω) に対してある T^{∗} > 0 があって (1) の時間局所的弱解 u ∈ C([0, T^{∗}); H_{0}^{1}(Ω)) が存在するがそれは一意である. (もし “λ > 0” あるいは “p = 3 で ∥u_{0}∥_{2} が十分小さい” ならば, T^{∗} = ∞ と取れる)

(ii) σ < 0 のとき (p = 3 のときは ∥u_{0}∥_{2} が十分小さいとする), (1) の時間局所的弱解 u ∈ C([0, T^{∗}); H_{0}^{1}(Ω)) は一意である.

証明では非線形 Schrödinger 方程式に対する [4] の方法を用いる.

References

[1] Ginibre, J., Velo, G., The Cauchy problem in local spaces for the complex Ginzburg-Landau equation I, Compactness methods, Physica D 95 (1996), 191-228.

[2] Ginibre, J., Velo, G., The Cauchy problem in local spaces for the complex Ginzburg-Landau equation II, Contraction methods, Comm. Math. Phys., 187 (1997), 45-79.

[3] Okazawa, N., Yokota, T., Global existence and smoothing effect for the complex Ginzburg-Landau equation with p-Laplacian J. Differential Equations (2002) 182, 541-576.

[4] Ogawa, T., A proof of Trudinger’s inequality and its application to nonlinear Schrödinger equations, Nonlinear Anal. T.M.A., 14 (1990), 765-769.

[5] Temam, R., Infinite-Dimensional Dynamical Systems in Mechanics and Physics, Applied Math. Sci., vol. 68, Springer-Verlag, Berlin and New York, 1988; 2nd ed., 1997.