Proof for Analyticity of Solutions to Analytic Nonlinear Elliptic Equations

東京理科大学大学院理学研究科数学専攻井上明子

「解析的楕円型方程式の解は解析的となるか」という問に対して, 「2 つの独立変数を持つ２階の解析的楕円型方程式の３回微分可能な解は必ず解析的である」ということが,1904 年に S.Bernstin によって示された.

その後も多くの数学者によりこの問題は研究され, すでに 1960 年頃には C.B.Morrey， A.Friedman により, A.Douglis - L.Nirenberg によって拡張された一般の高階解析的楕円型方程式系に対してまでこの結果は拡張されている.

また同時に, 考えている領域の内部での解析性だけでなく, 強楕円型方程式に対しては領域の境界および Dirichlet Data も解析的であるならば, その境界上においても C^{∞} 解は解析的であるということも Morrey， Friedman は示している.

これら (強) 楕円型方程式の領域内部および境界における解の解析性の証明方法は大きく分けて２通りある. １つは解 u の微分 D^{α}u を次々評価していく方法であり, もう１つは方程式を積分方程式に変換し, 変数を複素数にまで拡張してそこでの正則性を示すという方法である.

K.Kato は前者の方法において単に D^{α}u を評価するのではなく, cut-off function を η として η^{|α|}D^{α}u の Sobolev norm を評価することにより, ２階の方程式の領域内部での解析性をより簡潔に示した.

本論文の主旨はこの Kato の方法を用いることにより, 特別な形の高階方程式系に対して主に境界での解析性をより単純に得るところにある.

次のような半線型強楕円型方程式系を考える：

(1)  ∑_{k=1}^{N} L_{jk}u_{k} = F_{j}(x, u) in G_{R_{0}}, j = 1, 2, …, N,
(2)  D_{y}^{q}u_{k} = 0  on σ_{R_{0}}, k = 1, 2, …, N ; q = 0, 1, …, s_{k} − 1.

ここで,

x = (x_{1}, …, x_{ν−1}, y) , u = (u_{1}, …, u_{N})

G_{R_{0}} := { x ∈ R^{ν} | x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + ⋯ + x_{ν−1}^{2} + y^{2} < R_{0}^{2}, y > 0 } σ_{R_{0}} : G_{R_{0}}の境界のうち y = 0 の部分 F_{j}(x, u) : analytic function を係数に持つ u の n 次多項式 L_{jk} : s_{j} + s_{k}階の微分のみ含む定数係数線型作用素

ただし (1) が強楕円型であるとは,

∑_{j,k=1}^{N} Re {(−1)^{s_{j}}L_{jk}(ξ)v_{j}v̄_{k}} ≥ k_{1} ∑_{j=1}^{N}(|ξ|^{s_{j}}|v_{j}|)^{2} , k_{0} > 0

for ξ = (ξ_{1}, …, ξ_{ν}) ∈ R^{ν} , v = (v_{1}, …, v_{N}) ∈ C^{N}

ここで L_{jk}(ξ) は operator L_{jk}の特性多項式

が成立するときをいう.

結果の１つとして, このような方程式に対し次の定理の新しい証明を得た：

\underline{定理}

上記 (1), (2) を満たす u ∈ C^{∞}(G_{R_{0}} ∪ σ_{R_{0}}) は， R < R_{0} に対し G_{R} ∪ σ_{R} で解析的である．