ANALYTIC SOLUTIONS TO SOME NONLINEAR EVOLUTION EQUATIONS

加藤圭一（東京理科大・理）

次の空間 1 次元非線形 Schrödinger 方程式

\begin{cases}i∂_{t}u − ∂_{x}^{2}u & = f(u), \\ u(0, x) & = ϕ(x), \end{cases} (1)

を考える。本講演で考察する問題は、 ϕ がどのような条件の下で、解 u が実解析的になるかという問題である。 Hayashi-Saitoh[5] により、初期値 ϕ が ∥e^{a|x|}ϕ∥ < ∞ を満たす時、解 u は、 t ≠ 0 で実解析的になることがわかっている。一方、 Hayashi-Kato[3], Taniguchi-Kato[7] により、 ∥(x∂_{x})^{k}ϕ∥ ≤ CA^{l}l! が任意の自然数 l で満たされれば、 (1) は t ≠ 0 で時空間変数に関し実解析的になることが示されている。

本講演では、後者と同様のことを解析接続を用いて示すことを目標とする。主結果は以下の通りである。簡単のため、 f(u) = u^{2} とする。初期値 ϕ に次の条件を仮定する。

Assumption 1. 初期値 ϕ はその Fourier 変換 ϕ̂ がある正数 A > 0 が存在して D = {ξ + iη ∈ ℂ||η| ≤ A|ξ|} で正則で、 |a| ≤ A を満たす a に対し

∥ϕ̂(ξ − iaξ)∥_{L_{ξ}^{2}} < ∞,

を満たす。

Theorem 1. 上記 Assumption1 を仮定する。そのとき、ある T > 0 が存在して(1) の解 u が C([0, T]; L^{2}) で一意的に存在し、 u は空間変数に関し解析的となる。

この結果自身は新しいものではなく、 Taniguchi-Kato[7] に含まれるが、ここでは、その結果の解析接続による別証明を紹介する。

証明は以下の 3 つのステップで行なう。

(ステップ 1)

(1) を解くことは、次の積分方程式を解くことに帰着される。

û(t, ξ) = e^{itξ^{2}} ϕ̂(ξ) + i ∫_{0}^{t} e^{i(t−s)ξ^{2}} û ∗ û(s, ξ)ds. (2)

Date: 1999 年 6 月 26 日.

もし、 û(t, ξ) が D まで解析接続できると仮定すると形式的に方程式(2) は次のようになる。

û(t, ξ − iaξ) = e^{it(ξ−iaξ)^{2}} ϕ̂(ξ) + i(1 − ia) ∫_{0}^{t} e^{i(t−s)(ξ−iaξ)^{2}} û ∗ û(s, ξ − iaξ)ds. (3)

ũ_{a}(t, ξ) = û(t, ξ − iaξ) とおくと、積分方程式

ũ_{a}(t, ξ) = e^{it(ξ−iaξ)^{2}} ϕ̂(ξ) + i(1 − ia) ∫_{0}^{t} e^{i(t−s)(ξ−iaξ)^{2}} ũ_{a} ∗ ũ_{a}(s, ξ)ds, (4)

が得られる。 b > 0 とし、各 0 < a ≤ A について関数空間

X_{a} = {f(t, ξ) ∈ C([0, T], L^{2})| sup_{t} ∥e^{bat|ξ|}f(t, ξ)∥_{L_{ξ}^{2}} < ∞}

を用意しその上で積分方程式(4) を解く。 (ステップ 2) U(t, ξ−iaξ) = ũ_{a}(t, ξ) と置き、 U(t, ζ) が D で正則であることを示す。 (ステップ 3) ステップ 2 から、 Cauchy の積分定理を用いると

(5) u(t, x) = (1 − ia)/2π ∫_{−∞}^{∞} e^{it(ξ−iaξ)^{2}} ϕ̂(ξ)e^{ix(ξ−iaξ)}dξ

+ i(1 − ia)^{2}/2π ∫_{−∞}^{∞} ∫_{0}^{t} e^{i(t−s)(ξ−iaξ)^{2}} û ∗ û(s, ξ − iaξ)e^{ix(ξ−iaξ)}dsdξ.

積分方程式(5) に表れる e^{it(ξ−iaξ)^{2}}、 e^{i(t−s)(ξ−iaξ)^{2}} の肩の部分が

it(ξ − iaξ)^{2} = it(ξ^{2} − a^{2}ξ^{2}) − 2atξ^{2} (6)

であるから、 t > 0 のときは a > 0 を、 t < 0 のときは a < 0 を用いて、積分方程式(5) より u(t, x) が t ≠ 0 で |x| < b のとき空間変数に関し解析的であることがわかる。ただし、 b を大きくとると、存在時間が小さくなるので、すべての x で解析性を示すには、この議論をもう 1 度繰り返す必要がある。

References

[1] de Bouard, A., Analytic solutions to non-elliptic nonlinear Schrödinger equations , J. Diff. Equations, 104, (1993) 196-213.

[2] de Bouard, A., Hayashi, N., Kato, K. Regularizing effect for the (generalized) Korteweg de Vries equation and nonlinear Schrödinger equations, Ann.Inst. H.Poincaré, Analyse non linéaire, 9 (1995), 673–725.

[3] Hayashi, N., Kato, K Regularity in time of solution to nonlinear Schrödinger equations, J. Funct. Anal. 128 (1995), 253–277.

[4] Hayashi, N., Kato, K Analyticity in time and smoothing effect of solutions to nonlinear Schrödinger equations, Comm. Math. Phys. 184 (1997), 273–300.

[5] Hayashi, N., Saitoh, S. Analytichity and smoothing effect for the Schrödiner equation, Ann. Inst. H. Poincaré, Phys. Théor. 52 (1990), 163–173.

[6] Kato, K., Ogawa, T., Analyticity and Smoothing Effect for the Korteweg de Vries Equation with a single point singularity, Math. Annalen, (2000), to appear.

[7] Kato, K., Taniguchi, K., Gevrey regularizing effect for nonlinear Schrödinger equations, Osaka J. Math., 33 (1996), 863–880.

[8] Kato, T., Masuda, K., Nonlinear evolution equations and analyticity I, Ann.Inst.Henri Poincaré. Analyse non linéaire, 3 no. 6 (1986), 455–467.

[9] Ukai, S. Local solutions in Gevrey classes to the nonlinear Boltzmann equation without cutoff. Japan J. Appl. Math., 1 (1984), 141-156.