L^{2} well-posedness on Cauchy problem of 3rd order Schrödinger-type equations

古財俊秀（東京理科大・理）

ここでは３階の偏微分作用素を持つ発展方程式の Cauchy 問題を考える.

\{ \begin{matrix}(∂_{t} + a^{w}(x, D))u = f \\ u(0, x) = u_{0}(x) \end{matrix} (1)

次の条件を仮定する. (A0) a = ia_{3} + a_{2} + a_{1} + a_{0}, a_{j} ∈ S_{1,0}^{j} (0 ≤ j ≤ 3) a_{3} は実表象. (A1) e(x, ξ) ≥ δ⟨ξ⟩ for ∃δ > 0 かつ {e, a_{3}}, {e, a_{2}} ∈ S_{1,0}^{1} であるような e ∈ S_{1,0}^{1} が存在する. (A2) H_{a_{3}+Ima_{2}}p + Re(a_{2} + a_{1}) ≥ −C となるような実表象 p ∈ S_{1,0}^{1} と C > 0 が存在する. (A3) H_{a_{3}+Ima_{2}}p + Re(a_{2} + a_{1}) ≥ −K log⟨ξ⟩ − K′(log⟨ξ⟩)^{2} − K′′(log⟨ξ⟩)^{4} − K′′′(log⟨ξ⟩)^{5} − C となるような実表象 p ∈ S(log⟨ξ⟩, |dx|^{2} + ⟨ξ⟩^{−2}|dξ|^{2}) と K, K′, K′′, K′′′, C > 0 が存在する.

そのとき次の定理が成り立つ.

定理 1.1 s ∈ R とし,(A0),(A1),(A2) を仮定する. そのとき ∀u_{0} ∈ H^{s}, ∀f ∈ L^{1}([0, T]; H^{s}) に対して,(1) の解 u ∈ C^{1}([0, T]; H^{s}) が存在して,

∥u(t)∥_{s} ≤ C_{1}(∥u(0)∥_{s} + ∫_{0}^{t} ∥f(τ)∥_{s}dτ), (0 ≤ t ≤ T)

が成り立ち, 解は C^{1}([0, T]; H^{−∞}) でー意である. さらに f ∈ L^{2}([0, T]; H^{s}) ならば u ∈ L^{2}([0, T]; X^{s}) は次を満足する.

∫_{0}^{t} ∥u(τ)∥_{X^{s}}^{2}dτ ≤ C_{2}(∥u(0)∥^{2} + ∫_{0}^{t} ∥f(τ)∥_{s}^{2}dτ).

ここで X^{s} は次の norm を持つ Hilbert 空間とする.

∥u∥_{X^{s}}^{2} = ((H_{a_{3}+Ima_{2}}p + Re(a_{2} + a_{1}))^{w}(x, D)⟨D⟩^{s}u, ⟨D⟩^{s}u) + C_{s}∥u∥_{s}^{2}.

ここで C_{s} は十分大きな定数とする.

定理 1.2 s ∈ R とし,(A0),(A1),(A3) を仮定する. そのとき ∀u_{0} ∈ H^{s}, ∀f ∈ L^{1}([0, T]; H^{s}) に対して,(1) の解 u ∈ C^{1}([0, T]; H^{s−γ}) が存在して,

∥u(t)∥_{s−γ} ≤ C_{1}(∥u(0)∥ + ∫_{0}^{t} ∥f(τ)∥_{s}dτ), (0 ≤ t ≤ T)

が成リ立ち,C^{1}([0, T]; H^{−∞}) でー意である. ここに γ, C_{1} > 0 で γ は s に無関係な定数である.