時間に依存する外力を持つ NAVIER-STOKES 方程式の弱 L^{N}- 空間に属する解

山崎 昌男

§1. Introduction.

n ≥ 3 とし， Ω は全空間 ℝ^{n}, 半空間 ℝ_{+}^{n} = (0, ∞) × ℝ^{n−1}, 滑らかな境界 ∂Ω をもつ ℝ^{n} の外部領域のいずれかであるとする．時間に依存し， t → ∞ のとき必ずしも減衰しない (例えば時間について周期的な) 外力 f(t, x) が存在するときの Ω 上の Dirichlet 境界条件を持つ非定常 Navier-Stokes 方程式

\frac{∂u}{∂t}(t, x) − Δu(t, x) + (u(t, x) · ∇)u(t, x) + grad π(t, x) = f(t, x) in I × Ω,
div u(t, x) = 0  in I × Ω,
u(t, x) = 0  on I × ∂Ω

を考える．ただし I = ℝ または I = (0, ∞) で， I = (0, ∞) のときは初期条件

u(0, x) = a(x)

をおく．

この問題はまず Ω = ℝ^{3}, ℝ_{+}^{3} のときに Maremonti [1,2] によって扱われ，ある p < 3/2 について

f(t, ·) ∈ L^{∞} (I, L^{3}(Ω) ∩ Ḣ_{p}^{−1}(Ω))

をみたす小さい f(t, x) に対して解の一意存在と安定性が示された．ここで Ḣ_{p}^{−1}(Ω) は L^{p}(Ω) の函数の一回微分の和の形に書ける函数の空間を表す．次いで小薗-中尾 [3] により， n ≥ 3 に対する Ω = ℝ^{n}, ℝ_{+}^{n} あるいは n ≥ 4 に対する ℝ^{n} の外部領域の場合に，ある p < n/2 及び r > n/3 について

f(t, ·) ∈ L^{∞} (ℝ, L^{r}(Ω) ∩ Ḣ_{p}^{−1}(Ω))

をみたす小さい f(t, x) に対して解の一意存在が示された． [3] で構成された解は，ある q < n 及び s > n について u ∈ C (ℝ, L^{q}(Ω) ∩ L^{s}(Ω)) をみたす．さらに谷内 [4] は， [3] で構成された解の L^{n}(Ω) に属する初期摂動についての安定性を示した．また Salvi [5] は, Ω が 3 次元外部領域の場合に， t について周期 T を持つ

f(t, ·) ∈ L^{2} ([0, T] : L^{2}(Ω) ∩ Ḣ_{2}^{−1}(Ω))

に対し， t について周期 T を持つ弱解の存在を示し，さらに f(t, x) が小さいときに t について周期 T を持つ強解の存在を示した．一方 f が t に依存しないとき，定常 Navier-Stokes 方程式

−Δu(x) + (u(x) · ∇)u(x) + grad π(x) = f(x) in Ω,
div u(x) = 0 in Ω,
u(x) = 0 on ∂Ω

に対しては小薗-山崎 [6] により， 3 次元外部領域も含め， f(x) ∈ Ḣ_{n/2,∞}^{−1}(Ω) に属する小さい f(x) に対し， L^{n,∞}(Ω) に属する小さい解 u(x) の一意存在が示されている．ここで L^{n,∞}(Ω) は以下に導入する Lorentz 空間を表し， Ḣ_{n/2,∞}^{−1}(Ω) は L^{n/2,∞}(Ω) の函数の一回微分の和の形に書ける函数の空間を表す．また解の一意性は， L^{n,∞}(Ω) に属する小さい解に対してのみ示されている．

1 < p < ∞, 1 ≤ q ≤ ∞ 及び u(x) ∈ L_{loc}^{p}(Ω) に対し，

∥u∥_{p,q} = \{ \begin{matrix}(∫_{0}^{+∞} (sμ (\{x ∈ Ω | |u(x)| > s\})^{1/p})^{q} \frac{ds}{s})^{1/q} & for 1 ≤ q < ∞, \\ sup_{t>0} μ (\{x ∈ Ω | |u(x)| > s\})^{1/p} & for q = ∞ \end{matrix}

とおく．次に Lorentz 空間 L^{p,q}(Ω) を L^{p,q}(Ω) = {u(x) ∈ L_{loc}^{p}(Ω) | ∥u∥_{p,q} < +∞} と定める．このとき L^{p,q}(Ω) は ∥u∥_{p,q} と同値なノルムにより Banach 空間となる．特に L^{p,p}(Ω) は L^{p}(Ω) と一致する．また q < r ならば L^{p,q}(Ω) ⊂ L^{p,r}(Ω) となり， 1 ≤ q < ∞ ならば L^{p,q}(Ω)^{∗} = L^{p/(p−1),q/(q−1)}(Ω) となる．

ここでは最初に述べた非定常問題が 3 次元外部領域の場合も含めて，定常問題と同じ函数空間の設定で，解の大きさについての条件の下で一意的に解けることを示す．

§2. 主結果.

結果を述べるために mild solution を導入する．以下外力 f(t, x) = (f_{k}(t, x))_{k=1}^{n} は f_{k}(t, x) = ∑_{j=1}^{n}(∂F_{jk}/∂x_{j})(t, x) の形に表されているとする．

u(t, x) ∈ BUC (ℝ, L_{σ}^{n,∞}(Ω)) は，任意の φ ∈ C_{0,σ}^{∞}(Ω) 及び t ∈ ℝ に対して等式

(u(t, ·), φ)

= ∑_{j,k=1}^{n} ∫_{0}^{+∞} (u_{j}(t − τ, ·), u_{k}(t − τ, ·) − F_{jk}(t − τ, ·), \frac{∂}{∂x_{j}} (exp(−τA)φ)_{k}) dτ

が成立するとき， I = ℝ に対する Navier-Stokes 方程式の mild solution であると呼ばれる．この式は，微分方程式を書き直して得られる区間 (−∞, t) 上の積分方程式

u(t) = ∫_{0}^{+∞} exp(−τA) {−(u(t − τ) · ∇)u(t − τ) + f(t − τ)} dτ

と φ ∈ C_{0,σ}^{∞}(Ω) との pairing を取り，部分積分して得られるものである．

また， u(t, x) ∈ BC ((0, ∞), L_{σ}^{n,∞}(Ω)) は，任意の φ ∈ C_{0,σ}^{∞}(Ω) 及び t > 0 に対して等式

(u(t, ·), φ) = (a, exp(−tA)φ)+

∑_{j,k=1}^{n} ∫_{0}^{t} (u_{j}(t − τ, ·), u_{k}(t − τ, ·) − F_{jk}(t − τ, ·), \frac{∂}{∂x_{j}} (exp(−τA)φ)_{k}) dτ

が成立するとき， I = (0, ∞) に対する Navier-Stokes 方程式の mild solution であると呼ばれる．

このとき主結果は次の通りである．

定理 1. F (t, ·) ∈ BUC (ℝ, (L^{n/2,∞}(Ω))^{n^{2}}) が十分小さければ， I = ℝ に対する

Navier-Stokes 方程式の小さい mild solution が一意的に存在する．さらに F (t, ·) に u(t, ·) を対応させる写像は連続である．

定理 2. a(x) ∈ L_{σ}^{n,∞}(Ω) 及び F (t, ·) ∈ BC ((0, ∞), (L^{n/2,∞}(Ω))^{n^{2}}) が十分小さけ

れば， I = ℝ に対する Navier-Stokes 方程式の小さい mild solution が一意的に存在する．さらに (a(x), F (t, ·)) に u(t, ·) を対応させる写像は連続である．

§3. Stokes 半群に対する L^{p}-L^{q} 評価の Lorentz 空間版.

これらを証明するために， Stokes 半群に対するいわゆる L^{p}-L^{q} 評価を Lorentz 空間に拡張し，さらにその精密化を考える． Ω が上の条件をみたすとき

L_{σ}^{p}(Ω) = {u(x) ∈ (L^{p}(Ω))^{n} | div u = 0 in Ω,n · u = 0 on ∂Ω},
G^{p}(Ω) = {grad f(x) ∈ (L^{p}(Ω))^{n} | f(x) ∈ L_{loc}^{p}(Ω)}

とおくと， Ω における Helmholtz 分解 (L^{p}(Ω))^{n} = L_{σ}^{p}(Ω) ⊕ G^{p}(Ω) が定義される．この分解に対応する (L^{p}(Ω))^{n} から L_{σ}^{p}(Ω) への射影作用素を P_{p} とおくと，任意の p ∈ (1, ∞) に対して Stokes 作用素 A = −P_{p}Δ は空間 L_{σ}^{p}(Ω) 上の有界解析的半群を生成し，さらにいわゆる L^{p}-L^{q} 評価

∥ exp(−tA)u∥_{q} ≤ C_{p,q}t^{n/2(1/q−1/p)}∥u∥_{p}  for t > 0, 1 < p ≤ q < ∞,
∥∇ exp(−tA)u∥_{q} ≤ C_{p,q}t^{n/2(1/q−1/p)−1/2}∥u∥_{p} for t > 0, 1 < p ≤ q ≤ n

をみたす. (加藤 [7], 鵜飼 [8], Borchers-宮川 [9], 岩下 [10], 儀我-Sohr [11], Borchers-宮川 [12] を参照.) 一方 L^{p}-空間と同様に， Lorentz 空間においても Helmholtz 分解 (L^{p,q}(Ω))^{n} = L_{σ}^{p,q}(Ω) ⊕ G^{p,q}(Ω) が成立し，従って Stokes 作用素 A が定義される． (宮川-山田 [13] を参照 .) このとき以下の結果が成り立つ．

定理 3.

(1) 任意の p ∈ (1, ∞), q ∈ [1, ∞] に対し，作用素 −A は空間 L_{σ}^{p,q}(Ω) 上の “有界解析的半群” exp(−tA) を生成する． (ただし q = ∞ のときは t = 0 において exp(−tA) は強連続ではない.)

(2) 1 < p < q < ∞ をみたす任意の p, q に対し評価式

∥ exp(−tA)u∥_{q,1} ≤ C_{p,q}t^{n/2(1/q−1/p)}∥u∥_{p,∞}

が任意の u(x) ∈ L_{σ}^{p,∞}(Ω) に対して成立する．

(3) Ω = ℝ^{n}, ℝ_{+}^{n} の時は 1 < p < q < ∞, Ω が外部領域の時は 1 < p < q ≤ n をみたす任意の p, q に対し評価式

∥∇ exp(−tA)u∥_{q,1} ≤ C_{p,q}t^{n/2(1/q−1/p)−1/2}∥u∥_{p,∞}

が任意の u(x) ∈ L_{σ}^{p,∞}(Ω) に対して成立する．

この定理は通常の L^{p}-L^{q} 評価に実補間を施して得られるが， (3) を外部領域 Ω, q = n に対して得るために次の補題を用いる．この補題の 1 < p = q < n の場合は [12] によって得られている．

補題. 外部領域 Ω において 1 < p < n, 1 ≤ q ≤ ∞ であるかまたは p = n, q = 1 ならば任意の u(x) ∈ C_{0,σ}^{∞}(Ω) に対して評価式 ∥∇u∥_{p,q} ≤ C_{p,q}∥A^{1/2}u∥_{p,q} が成り立つ．

定理 3 (3) の結論の式において q を固定し， u(x) に t ∈ (0, ∞) の函数 t^{n/2(1/p−1/q)}∥ exp(−tA)u∥_{q} 及び t^{n/2(1/p−1/q)+1/2}∥∇ exp(−tA)u∥_{q} を対応させる写像を考え，これに実補間を施すと次の定理を得る．

定理 4.

(1) 1 < p < q < ∞ をみたす任意の p, q に対し評価式

∫_{0}^{∞} t^{n/2(1/p−1/q)−1}∥ exp(−tA)u∥_{q,1} dt ≤ C_{p,q}∥u∥_{p,1}

が任意の u(x) ∈ L_{σ}^{p,1}(Ω) に対して成立する．

(2) Ω = ℝ^{n}, ℝ_{+}^{n} の時は 1 < p < q < ∞, Ω が外部領域の時は 1 < p < q ≤ n をみたす任意の p, q に対し評価式

∫_{0}^{∞} t^{n/2(1/p−1/q)−1/2}∥∇ exp(−tA)u∥_{q,1} dt ≤ C_{p,q}∥u∥_{p,1}

が任意の u(x) ∈ L_{σ}^{p,1}(Ω) に対して成立する．

§4. 定理 1 の証明.

小薗-中尾 [3] の方法に従い， iteration scheme

\frac{∂u_{j+1}}{∂t} (t) + Au_{j+1}(t) + P (u_{j}(t) · ∇)u_{j}(t) = f(t)

を積分方程式に書き直して得られる

u_{j+1}(t) = ∫_{0}^{+∞} exp(−sA) [f(t − s) − (u_{j}(t − s) · ∇)u_{j}(t − s)] ds

を考える．この積分の L^{p}(Ω) の強位相での収束を確かめるのは困難である．そこで上の定理 4 を用いて，この積分が L^{n,∞}(Ω) の汎弱位相で収束することを示す．そのために，任意の φ ∈ C_{0,σ}^{∞}(Ω) に対して等式

(u_{j+1}(t, ·), φ)

= ∑_{k,ℓ=1}^{n} ∫_{0}^{+∞} (u_{j,k}(t − τ, ·)u_{j,ℓ}(t − τ, ·) − F_{kℓ}(t − τ, ·), \frac{∂}{∂x_{k}} (exp(−τA)φ)_{ℓ}) dτ

が成り立ち，かつ

1 < \frac{n}{n − 1} < \frac{n}{n − 2} ≤ n, \frac{n}{2} (\frac{n − 1}{n} − \frac{n − 2}{n}) − \frac{1}{2} = 0

であるから定理 4 より B = {φ ∈ C_{0,σ}^{∞}(Ω) | ∥φ∥_{n/(n−1),1} ≤ 1} とおくと

∥u_{j+1}(t)∥_{n,∞} ≤ C sup_{φ∈B} |(u_{j+1}(t), φ)|

≤ C sup_{φ∈B} ∫_{0}^{+∞} |(−F (t − s) + u_{j}(t − s) ⊗ u_{j}(t − s), ∇ exp(−sA)φ)|ds

≤ C (sup_{τ∈ℝ} ∥F (τ, ·)∥_{n/2,∞} + sup_{τ∈ℝ} ∥u_{j}(τ, ·)∥_{n,∞}^{2})

sup_{φ∈B} ∫_{0}^{+∞} ∥∇ exp(−sA)φ∥_{n/(n−2),1}ds

≤ C (sup_{τ∈ℝ} ∥F (τ, ·)∥_{n/2,∞} + sup_{τ∈ℝ} ∥u_{j}(τ, ·)∥_{n,∞}^{2})

となることが示せる．

参考文献

[1] P. Maremonti, Existence and stability of time periodic solutions of the Navier-Stokes equations in the whole space, Nonlinearity 4 (1991), 503–529.

[2] P. Maremonti, Some theorems of existence for solutions of teh Navier-Stokes equations with slip boundary conditions in half-space, Ricerche Mat. 40 (1991), 81–135.

[3] H. Kozono and M. Nakao, Periodic solutions of the Navier-Stokes equations in unbounded domains, Tôhoku Math. J. 48 (1996), 33–50.

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[5] R. Salvi, On the existence of periodic weak solutions on the Navier-Stokes equations in exterior regions with periodically moving boundaries, Navier-Stokes Equations and Related Nonlinear Problems, Proc. Third Int. Conf. in Funchal, Madeira, Portugal, 1994, A. Sequeira, ed., Plenum, New York, 1995, pp. 63–73.

[6] H. Kozono and M. Yamazaki, Exterior problem for the stationary Navier-Stokes equations in the Lorentz space, Math. Ann. 310 (1998), 279–305.

[7] T. Kato, Strong L^{p}-solution of the Navier-Stokes equation in ℝ^{m}, with applications to weak solutions, Math. Z. 187 (1984), 471–480.

[8] S. Ukai, A solution formula for the Stokes equation in ℝ_{+}^{n}, Comm. Pure Appl. Math. 40 (1987), 611–621.

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[12] W. Borchers and T. Miyakawa, Algebraic L^{2}-decay for Navier-Stokes flows in exterior domains, Acta Math. 165 (1990), 189–227.

[13] T. Miyakawa and M. Yamada, Planar Navier-Stokes flows in a bounded domain with measures as initial vorticities, Hiroshima Math. J. 22 (1992), 401–420.