ASYMPTOTIC BEHAVIOR OF EIGENVALUES OF THE STOKES OPERATOR AND ELLIPTIC OPERATORS

東京理科大学大学院理学研究科数学専攻

三森旬

A が自己共役, 下に半有界で, そのレゾルベントがコンパクトな作用素であるとすると A のスペクトルは実数で下に有界, 重複度有限な固有値のみで構成される. ここで A の固有値列 (λ_{i})_{i∈ℕ} を λ_{1} ≤ λ_{2} ≤ λ_{3} ≤ ⋯ → ∞ であり, かつ重複度の分だけ繰り返されるように並び替え, 分布関数を実数 λ ≥ 0 に対し

N(λ) = ♯{i ∈ ℕ | λ_{i} ≤ λ}

と定義する.

この N(λ) は A の固有値を直接考えずとも, 対応する variational triplet (V, H, a) について検討することで評価を与えることができる. (V, H, a) に対しては N(λ) = N(λ; V, H, a) と書くことにすると次が成り立つ.

N(λ; V, H, a) = inf_{E∈E_{λ}(V,H,a)} codim_{V} E = ♯\{n ∈ ℕ ∪ \{0\} | d_{n}(S_{a}; H) ≥ λ^{− \frac{1}{2}} \}

ここで, E_{λ}(V, H, a) = {E : V の閉部分空間| a − λ : E 上 strongly coercive}, d_{n} は n 次 Kolmogorov diameter, S_{a} = {u ∈ V | a(u, u) ≤ 1} である.

空でない有界な開集合 Ω ⊂ ℝ^{n} に対し 2 つの Hilbert 空間 V_{0}(Ω) = {u ∈ (H_{0}^{1}(Ω))^{n} | div u = 0} L(Ω) = (L^{2}(Ω))^{n} と V_{0}(Ω) 上の form a(u, v) = ∑_{i=1}^{n} ∑_{j=1}^{n} ∫_{Ω} \frac{∂u_{i}}{∂x_{j}} (x)\overline{\frac{∂v_{i}}{∂x_{j}} (x)} dx を定義する. このとき (V_{0}(Ω), L(Ω), a) は variational triplet となり, N(λ; V_{0}(Ω), L(Ω), a) は fractal な境界を持つ場合も含む Ω 上の Stokes 作用素の固有値の分布関数を意味する. Caetano は [1] でこの N(λ; V_{0}(Ω), L(Ω), a) に対し漸近評価を与えている.

Caetano [1] の結果は Métivier [2] によっているところが大きい.

Métivier [2] は楕円型偏微分作用素の固有値に対する N(λ) の評価を variational triplet (V, H, a) を使って与えており, その適用範囲も広い.

この研究では Caetano [1] による結果を Métivier [2] にまで立ち返り 2 つの論文を比較しつつ, 丁寧な確認を試みた.

また, Métivier [2] は, V_{0} を V の閉部分空間としたとき V の閉部分空間 Z_{λ} = {u ∈ V | ∀v ∈ V_{0} : a(u, v) = λ(u, v)_{H}} に対して,

N(λ; V, H, a) + dim (V_{0} ∩ Z_{λ}) = N(λ; V_{0}, H, a) + N(λ; Z_{λ}, H, a)

であると述べている. この等式は先のどちらの論文でも重要な役を担っている. 実際に空間が 1 次元の場合について例を考察し確認を行った.

主な参考文献

[1] A.M.Caetano, “Eigenvalue asymptotics of the Stokes operator for fractal domains”, Proc. London Math. Soc. (3) 76 (1998) 579-602.

[2] G.Métivier, “Valeurs propres de problèmes aux limites elliptiques irréguliers”, Bull. Soc. Math. France, Mémoire 51-52(1977) 125-219.