Asymptotic Behavior of Solutions of One-dimensional Semilinear Parabolic Equations

東京理科大学大学院理学研究科数学専攻新潟谷梨恵

H.Matano[1] は, 非線型項 f(x, u) を持つ，次の空間一次元の発展方程式の初期値問題を分離境界条件の下で扱い, 以下のことを示した:

u_{t} = {a(x)u_{x}}_{x} + f(x, u), (0 < x < l, 0 < t < T) (1)

ただし、 a(x) ≧ 0 で、区間 [0,l] において、十分滑らか。さらに、非線型項 f : [0, l]×R → R は、 C^{2} 級とする。

定理 (1) の初期値 ψ ∈ C[0, l] に対する解を Q(t)ψ，その最大存在時刻を s(ψ) とすると, 次のうちの一つが成立する：

1) s(ψ) < ∞, lim_{t→s(ψ)} ∥Q(t)ψ∥_{L^{∞}(0,l)} = ∞ ;

2) s(ψ) = ∞, lim_{t→∞} ∥Q(t)ψ∥_{L^{∞}(0,l)} = ∞ ;

3) s(ψ) = ∞, (1) の定常解 v が存在して，

lim_{t→∞} Q(t)ψ = v in C^{1}[0, l] ∩ C^{2}[0, l].

これらより，任意の ψ に対して，解軌道 {Q(t)ψ}_{t≧0} の ω-limit set を，

Ω(ψ) = ⋂_{t>0} \overline{\{Q(τ)ψ|τ ≧ t\}}

で定義すると， s(ψ) = ∞ の時， Ω(ψ) は高々一元であることが分かる．

本論文では， (1) における境界条件を周期境界条件に変えたときに同様のことが成り立つかどうかの検討をした．この問題は，円周 S^{1} 上の熱伝導方程式としてとらえられ， Matano[2] で取り扱われているが，ここでは，その時の最大値原理の確認からはじめて，基本解の評価を初等的な方法で示し，局所解の存在と ω-limit point が定常解になることを証明した．そして， a(x) = 1, f(x, u) = u^{2} の場合に backward-uniqueness を証明し、初期条件と解の漸近挙動の関係についての考察をした．

参考文献

[1] Hiroshi Matano. Convergence of solutions of one-dimensional semilinear parabolic equations, J.Math.Kyoto Univ., 18-2 (1978)

[2] Hiroshi Matano. Asymptotic behavior of solutions of semilinear heat equations on S^{1}, in “Nonlinear Diffusion Equations and Their Equilibrium States II”, W.-M.Ni, L.A.Peletier, J.Serrin (eds), MSRI Publications 13 (1986), Springer-Verlag, New York.