CRITICAL SOBOLEV INEQUALITIES AND ITS APPLICATION TO

THE NONLINEAR EVOLUTION EQUATIONS IN THE FLUID MECHANICS

小川卓克^{†}

九州大学大学院数理学研究科

812-8581 福岡市東区箱崎

1. Uniqueness Criterion

ここでは以下のような Navier-Stokes 方程式の弱解の一意性について考える。

\begin{cases}∂_{t}u + u · ∇u = −∇p + Δu + f,  t > 0, x ∈ ℝ^{n}, \\ div u = 0,  t > 0, x ∈ ℝ^{n}, \\ u(0, x) = u_{0}(x). \end{cases} (1.1)

以下、考える問題が一意性なので外力項 f は 0 と仮定する。

大きな初期値に対する Navier-Stokes 方程式の弱い解、いわゆる Leray-Hopf の弱解は、方程式から自然に得られるエネルギー不等式 :

∥u(t)∥_{2}^{2} + 2 ∫_{0}^{t} ∥∇u(t)∥_{2}^{2}dτ ≤ ∥u_{0}∥_{2}^{2}

を元に u ∈ L^{∞}(0, T; L_{σ}^{2}(ℝ^{n})) ∩ L^{2}(0, T; Ḣ^{1}(ℝ^{n})) の正則性を持つ超函数の意味での解として構成されることが知られている。 . この弱解は上記の正則性から自然に得られる、以下のような時空の可積分性 (可微分性) を持つことがわかる。

\begin{matrix}u ∈ L^{σ}(0, T; L^{q}(ℝ^{n})), \frac{2}{σ} + \frac{n}{q} = \frac{n}{2}, \\ 2 ≤ q ≤ \frac{2n}{n − 2}. \end{matrix} (1.2)

一方、 Leray 自身によって提唱された弱解の一意性の問題は、今日まで完全な意味ではまだ解かれていない。わずかに弱解に付加条件を課した場合においてのみ、いくつかの結果が知られている。すなわち、二つの弱解の内一方の解 u に対して以下の条件 (Serrin の uniqueness criterion)

Abstract for the seminar in Kagurazaka on July 24 1999, † 一部小薗英雄氏 (東北大) 谷内靖氏 (名古屋大) との共同研究.

u ∈ L^{θ}(0, T; L^{p}(ℝ^{n})), \frac{2}{θ} + \frac{n}{p} = 1, n < p ≤ ∞ (1.3)

を課せば二つの弱解は一致することが知られている ( Ohyama [19], Serrin [24], Giga [12]) 。 n = 3 の場合においては (1.2）と (1.3) に gap があることがわかる。 Serrin の条件は非線形項と同じ構造を持つ３重線形な形式 (u · ∇v, w) に対する評価に起因するものである。

さて、ここで考えたいのは u そのものではなくその微分、あるいは渦度 ω = rot u(t) に対する一意性のための条件である。 Sobolev の不等式から |∇|^{r}u に対する条件は

|∇|^{r}u ∈ L^{θ}(0, T; L^{p}(ℝ^{n})), \frac{2}{θ} + \frac{n}{p} = 1 + r. (1.4)

となることが直ちにわかる。したがって ∇u に対する条件は L^{θ}(0, T; L^{p}(ℝ^{n})) ただし

\frac{2}{θ} + \frac{n}{p} = 2. である。

一方、 rot ω = rot (rot u) = −Δu + ∇(div u) = −Δu, から

∇_{i}u = ∇_{i}(−Δ)^{−1}rot ω (1.5)

となり右辺には特異積分作用素が現れる。したがって ∇u に対する上記の条件の内その臨界条件である p = ∞ ( したがって必然的に θ = 1) の場合は渦度 ω によって一意性の条件が与えられるかどうかは微妙な問題となる。

かたや、 Euler 方程式

\begin{cases}∂_{t}u + u · ∇u = −∇p,  t > 0, x ∈ ℝ^{n}, \\ div u = 0,  t > 0, x ∈ ℝ^{n}, \\ u(0, x) = u_{0}(x), \end{cases} (1.6)

の解の break down が生じるか否かを議論する Euler 方程式の解の regularity critierion については Beale-Kato-Majda [2] によってその渦度 ω が L^{1}(0, T; L^{∞}) に属せば [0, T) のなめらかな解は時刻 T においても正則となり解が延長できることが示されている。さらにこの結果は Kozono-Taniuichi [16] によって、解の渦度に対する ω ∈ BMO ( 後述）と言う、より弱い条件にゆるめられている。

これらの結果は実はすべて対数型の Sobolev 不等式によって得られている。実際 Beale-Kato-Majda [2] においては以下の不等式が用いられた。 f = (f_{1}, f_{2}, f_{3}) ∈ W^{s,p} s > 1+n/p に対して div f = 0 であれば

∥∇f∥_{∞} ≤ C(1 + ∥∇f∥_{2} + ∥rotf∥_{∞}(1 + log^{+} ∥f∥_{W^{s,p}}))). (1.7)

Kozono-Taniuchi ([16]) においては (1.5) の特異積分作用素の有界性を回復するためにそれを有界にするような (semi) norm を考えた。具体的には有界平均振動の函数 ( BMO ) の semi norm を用いて; for f ∈ W^{s,p}(ℝ^{n}) with div f = 0,

∥f∥_{∞} ≤ C(1 + ∥f∥_{BMO}(1 + log^{+} ∥f∥_{W^{s,q}}))), s > n/p + 1. . (1.8)

ただし BMO とは L_{loc}^{1}(ℝ^{n}) なる函数であって、

sup_{x,R} \frac{1}{|B_{R}|} ∫_{B_{R}(x)} |u(x) − ū_{B_{R}(x)}|dx < ∞

となるものである。ここで ū_{B_{R}(x)} は n 次元球 B_{R}(x) 上での u の積分平均である。

ここで我々が示したいことは、こうした対数型 Sobolev の不等式を、より一般な空間であるところの斉次 Besov 空間において拡張すること、さらにそれを用いて、より広い空間における弱解の一意性のための、渦度の条件を与えることである。

Euler 方程式の弱解の正則性に対する条件から ω ∈ L^{∞}(0, T; BMO) が対応する条件と推測されるが、一意性の場合は双方の解に十分な正則性を仮定できない分だけ問題が難しくなる。すなわち対数型 Sobolev 不等式の右辺に現れる正則性を要求する項に対して解の正則性があらかじめ十分仮定できない点がもっとも困難な点である。ここではそれについて Navier-Stokes 方程式の持つ粘性の効果を利用することにより Euler 方程式の正則性に近い条件で一意性が示せることを述べる。

2. Besov Spaces and Critical Sobolev Inequality

Sobolev 型の不等式を Besov 空間の ‘ 言葉’ によって記述することを試みる。 (c.f., [26]). ϕ_{j} j = 0, ±1, ±2, ±3, ⋯ を周波数変数 ξ 空間における Littlewood-Payley の２進単位

分解とする。すなわち ϕ̂_{j}(ξ) = ϕ(2^{−j}ξ) かつ ∑_{j=−∞}^{∞} ϕ_{j}(ξ) = 1 ξ ≠ 0 である。

Definition. homogeneous Besov space Ḃ_{p,ρ}^{s} = {f ∈ S′; ∥f∥Ḃ_{p,ρ}^{s} < ∞} は以下の semi norm によって与えられる。

∥f∥Ḃ_{p,ρ}^{s} = ( ∑_{j=−∞}^{∞} ∥2^{js}ϕ_{j} ∗ f∥_{p}^{ρ})^{1/ρ′}

ここで s ∈ ℝ, 1 ≤ p, ρ ≤ ∞ である。

以下では非負の対数函数 log^{+} r をしばしば用いるがそれは

log^{+} r = \begin{cases}log r, & e < r, \\ 1, & 0 ≤ r ≤ e. \end{cases}

で与えられるものとする。

対数型の臨界型 Sobolev 不等式は Brezis-Gallouet [4], Brezis-Wainger[5] らによって導入されたがその後 Beale-Kato-Majda [2] によってそのベクトル場版が構成された。 (更なる一般化については [10], [25], [22], [16], [15] などを参照).

Theorem 2.1 ([15], [21]). 1 ≤ ν < ρ ≤ ∞ かつ κ > 0 とする。 q ∈ [1, ∞], ν < σ に対して、 n q σ のみに依存するある定数 C が存在して、 f ∈ Ḃ_{∞,σ}^{n/q+κ} ∩ Ḃ_{∞,σ}^{n/q−κ} に対して以下が成り立つ。

∥f∥Ḃ_{∞,ν}^{0} ≤ C∥f∥Ḃ_{∞,ρ}^{0}(1 + (\frac{1}{κ} log^{+} \frac{∥f∥Ḃ_{q,σ}^{n/q+κ} + ∥f∥Ḃ_{q,σ}^{n/q−κ}}{∥f∥Ḃ_{∞,ρ}^{0}} )^{1/ν−1/ρ}). (2.1)

\underline{Remark}. 不等式 ∥f∥Ḃ_{∞,ρ}^{0} ≤ ∥f∥Ḃ_{n/q,ρ}^{n/q} によって右辺に現れる ∥f∥Ḃ_{∞,ρ}^{0} の項は ∥f∥Ḃ_{q,ρ}^{n/q} に書き換えることが可能である。さらに、 Besov semi norm のはじめの指数 ∞ についてもたとえば ∥f∥Ḃ_{p,ν}^{0} のように変更することが可能である。

この不等式は Besov 空間における補間不等式の一種とみなせる。実際

Ḃ_{∞,ν}^{0} ⊂ Ḃ_{q,σ}^{n/q+κ} ∩ Ḃ_{q,σ}^{n/q−κ}

の形の埋め込みはよく知られていた。この不等式は高い正則性の部分の依存度が実は対数函数 (のべき乗) で顕に表せると言う点にある。二つ目の指数の大小が逆さまの場合、すなわち ρ < ν のとき, 不等式

∥f∥Ḃ_{∞,ν}^{0} ≤ C∥f∥Ḃ_{∞,ρ}^{0}

がいつも成立することは l^{ρ} ⊂ l^{ν} から明らかであろう。不等式自身はより一般的な形

∥f∥Ḃ_{∞,ν}^{0} ≤ C∥f∥Ḃ_{∞,ρ}^{0}(1 + (\frac{1}{κ} log^{+} \frac{∥f_{+}∥Ḃ_{q,σ}^{n/q+κ} + ∥f_{−}∥Ḃ_{q,σ}^{n/q−κ}}{∥f∥Ḃ_{∞,ρ}^{0}} )^{1/ν−1/ρ}), (2.2)

ただし f_{+} = ∑_{j>0} ϕ_{j} ∗ f かつ f_{−} = f − f_{+} で述べることもできる。

Theorem 2.1 はまた既知の対数型 Sobolev 不等式の拡張になっていて、実際はじめに得られた Brezis-Gallouet 型の不等式 [4]

∥f∥_{∞} ≤ C∥∇f∥_{2}(1 + (log^{+} ∥f∥_{W^{2,2}}))^{1/2} f ∈ H^{1}(ℝ^{2}) (2.3)

やより一般の Brezis-Wainger 型不等式 [5] (の一部) f ∈ W^{s,n}(ℝ^{n}), s > n/p + 1

∥f∥_{∞} ≤ C∥∇f∥_{n}(1 + (log^{+} ∥f∥_{W^{s,n}}))^{1−1/n} (2.4)

を得ることができる。またベクトル値版である Beale-Kato-Majda 型不等式 [2], f = (f_{1}, f_{2}, f_{3}) div f = 0, f ∈ W^{s,p}(ℝ^{3}) 1 + n/p < s

∥∇f∥_{∞} ≤ C(1 + ∥∇f∥_{2} + ∥rotf∥_{∞}(1 + log^{+} ∥f∥_{W^{s,p}}))), (2.5)

あるいは Kozono-Taniuchi 型不等式 ([16]);

∥f∥_{∞} ≤ C(1 + ∥f∥_{BMO}(1 + log^{+} ∥f∥_{W^{s,q}}))), f ∈ (W^{s,p}(ℝ^{n}))^{3} (2.6)

を導くことができる。

3. Uniqueness condition by vorticity

Navier-Stokes 方程式の弱解の一意性に対する条件を示す。

Definition. X を norm 空間とする。 α > 0 に対して u(t) が L(log L)^{α}(I; X) に属すとは

∫_{I} ∥u(t)∥_{X}(log^{+} ∥u(t)∥_{X})^{α}dt < ∞

のとき。とくに L log L(I; X) は

∫_{I} ∥u(t)∥_{X} log^{+} ∥u(t)∥_{X}dt < ∞

のときである。

Theorem 3.1 (Uniqueness[21]). u と ũ がともに初期値 u_{0} の Navier-Stokes 方程式の Leray-Hopf の意味での弱解であるとしある 1 ≤ ρ ≤ ∞ に対して一方の解の渦度 ω = rot u が rot u = ω ∈ L(log L)^{1/ρ′}([0, T]; Ḃ_{∞,ρ}^{0}) ただし 1/ρ + 1/ρ′ = 1 でありかつ他方の解 ũ が以下のエネルギー不等式を満たすと仮定する。

∥ũ(t)∥_{2}^{2} + 2 ∫_{0}^{t} ∥∇ũ(τ)∥_{2}^{2}dτ ≤ ∥u_{0}∥_{2}.

このとき u = ũ である。

Ḃ_{∞,1}^{0}(ℝ^{n}) ⊂ L^{∞}(ℝ^{n}) ⊂ BMO(ℝ^{n}) ⊂ Ḃ_{∞,∞}^{0}(ℝ^{n}) の埋め込みに注意すれば直ちに以下の系を得る。

Corollary 3.2 (limiting vorticity condition). u と ũ がともに初期値 u_{0} の Navier-Stokes 方程式の Leray-Hopf の意味での弱解であるとしある 1 ≤ ρ ≤ ∞ に対して一方の解の渦度 ω = rot u が ω = rot u ∈ L log L([0, T]; BMO) でありかつ他方の解 ũ が以下のエネルギー不等式を満たすと仮定する。

∥ũ(t)∥_{2}^{2} + 2 ∫_{0}^{t} ∥∇ũ(τ)∥_{2}^{2}dτ ≤ ∥u_{0}∥_{2}.

このとき u = ũ である。

References

[1] Adams, R.A., Sobolev Spaces, Academic Press, New York, 1975

[2] Beale, J.T., Kato, T., Majda, A., Remarks on the breakdown of smooth solutions for the 3-D Euler equations, Comm. Math.Phys. , 94 (1984), 61-66.

[3] Bergh, J., Löfström, J., Interpolation Spaces, An Introduction , Springer-Verlag, Belrin-New York-Heidelberg. , (1976).

[4] Brezis, H., Gallouet, T., Nonlinear Schrödinger equations , Nonlinear Anal. T.M.A. , 4 (1980), 677-681.

[5] Brezis, H., Wainger, S., A note on limiting cases of Sobolev embedding and convolution inequalities., Comm. Partial Differential Equations , 5 (1980), 773-789.

[6] Cannone, M., Planchon, F., On the non stationary Navier-Stokes equations with an external force, preprint.

[7] Chae, D. Weak solutions of 2-D Euler equations with initial vorticity in L log L., J. Diffential Equations., 103 (1993), 323-337.

[8] Chanillo, S., Sobolev inequalities involving divergence free maps, Comm. Partial Diff. Equations, 16 (1991), 1969-1994.

[9] Coifman.R.,Lions P.L., Meyer Y., Semmes,S., Compensated compactness and Hardy spaces , J.Math. Pures Appl., 77 (1993) 247-286.

[10] Engler, H., An alternative proof of the Brezis-Wainger inequality, Comm. Partial Differential equations. , 14 no. 4 (1989), 541-544.

[11] Furioli,G.,Lemarié-Rieusset,P.G.,Terraneo,T., Sur l’unicité dans L^{3}(ℝ^{3}) des mild des équations de Navier-Stokes C.R.Acad,Sci Paris (1997)

[12] Giga,Y., Solutions for semilinear Parabolic eqautions in L^{p} and regularity of weak solutions of the Navier-Stokes system J. Differential Equations 61 (1986) 186-212

[13] Gilberg, D., Trudinger,N., Elliptic Partial Differential Equation for Second Order, 2nd Ed. Springer, Berlin, New York 1983.

[14] Hayashi, N., von Wahl, W., On the global strong solutions of coupled Klein-Gordon -Schrödinger equations. , J. Math. Soc. Japan , 39 (1987), 489-497.

[15] Kozono, H., Ogawa, T.,Taniuchi, Y., Critical Sobolev inequalities and application to the semilinear evolution equations, work in preparation.

[16] Kozono, H., Taniuchi, Y., Limitting case of the Sobolev inequality in BMO with application to the Euler equations, preprint

[17] Lions, P.L., Masmoudi, N., Unicité des soluitions faibles de Navier-Stokes dans L^{n}(Ω), C.R. Acad Sci. Paris, 327 (1998), 491-496.

[18] Miyakawa,T., Hardy Spaces of solenoidal vector fields, with applications to the Navier-Stokes equations, Kyushu J. Math., 50 (1996) 1-64.

[19] Ohyama, T., Interior regularity of weak solutions of the time-dependent Navier-Stokes equation, Proc. Japan Acad., 36 (1960), 273-277.

[20] Ogawa, T., A proof of Trudinger’s inequality and its application to the nonlinear Schrödinger equations, Nonlinear Anal. T.M.A., 14 (1990), 765-769.

[21] Ogawa, T.,Taniuchi, Y., The limiting uniqueness criterion by vorticity to Navier-Stokes in BMO and Besov spaces, preprint.

[22] Ozawa, T., On critical cases of Sobolev’s inequalities, J. Funct. Anal., 127 (1995), 259-269.

[23] Ponce, G., Remarks on a paper by J.T..Beale, T. Kato and A. Majda, Comm. Math. Phys. , 98 (1985), 349-353.

[24] Serrin,J., On the interior regularity of weak solutions of the Navier-Stokes equations, Arch.Rat.Mech. Anal., 9 (1962), 187-185.

[25] Taylor, M.E., Pseudodifferential operators and nonlinear PDE , Progress of Mathematics, Birkhäuser, Boston, Basel, Berlin, 1991

[26] Triebel, H., Theory of Function Spaces II , Birkhäuser, 1983

[27] Vishik, M., Hydrodynamics in Besov spaces, Arch. Rational Mech. Anal. , 145 (1998), 197-214.

[28] Yudovich, V. I., Uniqueness theorem for the basic nonstationary problem in the dynamics of an ideal incompressible fluid, Math. Research Letters. , 2 (1995), 27-38.