Small Data Blowup for Systems of Semilinear Wave Equations with Different Propagation Speeds

太田雅人 (Masahito OHTA) 静岡大学工学部 Email : tsmoota@eng.shizuoka.ac.jp

1 導入

この講演では, 半線形波動方程式系の小さな初期データに対する初期値問題：

\{ \begin{matrix}(∂_{t}^{2} − c_{j}^{2}Δ)u_{j} = F_{j}(u, ∂u), & (x, t) ∈ ℝ^{3} × [0, ∞), \\ u_{j}(x, 0) = εf_{j}(x), ∂_{t}u_{j}(x, 0) = εg_{j}(x), & x ∈ ℝ^{3}, j = 1, ⋯, m \end{matrix} (1)

の古典解の大域的存在・非存在について考える. ここで, f_{j}, g_{j} ∈ C_{0}^{∞}(ℝ^{3}) で ε > 0 は初期値の小ささを表すパラメータで c_{j} > 0 は伝播速度を表す. 特に, 小さなデータに対する大域的存在・非存在に関して臨界的な状況の下で, 伝播速度の違いがどのような影響を及ぼすのかに興味がある. 以下, 空間３次元の場合に話を限定する.

定義任意の f, g ∈ C_{0}^{∞}(ℝ^{3}; ℝ^{m}) に対してある ε_{0} = ε_{0}(f, g) > 0 が存在して 0 < ε ≤ ε_{0} ならば (1) の古典解が大域的に存在するとき (1) に対して Small Data Global Existence が成り立つといい SDGE と略す. SDGE が成り立たないとき Small Data Blowup が起こるといい SDB と略す. □

このような問題を考えるとき次の３つの場合に分けて考える必要がある.

\underline{Case 1} 非線形項に未知関数の導関数が含まれない場合, すなわち F = F (u)

\underline{Case 2} 非線形項に未知関数自身が含まれない場合, すなわち F = F (∂u)

\underline{Case 3} それ以外の一般の場合, すなわち非線形項に未知関数もその導関数も含む場合

まず, 単独の場合 (m = 1) の臨界指数がいくつであったかを思い出す. Case 1, Case 2 の典型例としてそれぞれ

(2)  (∂_{t}^{2} − Δ)u = |u|^{p},  (x, t) ∈ ℝ^{3} × [0, ∞),
(3)  (∂_{t}^{2} − Δ)u = |∂_{t}u|^{p},  (x, t) ∈ ℝ^{3} × [0, ∞)

を考える. このとき次の定理が知られている.

定理 1 (2) に対して p > 1 + \sqrt{2} ⟹ SDGE, p ≤ 1 + \sqrt{2} ⟹ SDB. (John 79 [7], Schaeffer 85 [14], Zhou 92 [19])

定理 2 (3) に対して p > 2 ⟹ SDGE, p ≤ 2 ⟹ SDB. (John 81 [8], Sideris 83 [15], Hidano and Tsutaya 95 [4], Tzvetkov 98 [17])

さて単独方程式 (3) に関連した system (m = 2)

\{ \begin{matrix}(∂_{t}^{2} − c^{2}Δ)u = F_{1}(∂_{t}u, ∂_{t}v), & (x, t) ∈ ℝ^{3} × [0, ∞), \\ (∂_{t}^{2} − Δ)v = F_{2}(∂_{t}u, ∂_{t}v), & (x, t) ∈ ℝ^{3} × [0, ∞) \end{matrix} (4)

を考える. 定理２から F_{1}, F_{2} が２次のときが SDGE と SDB の critical case と考えられる. まず (F_{1}, F_{2}) = (∂_{t}u∂_{t}v, ∂_{t}u∂_{t}v) の場合を考えると c = 1 ならば定理２から明らかに SDB であるが, c ≠ 1 のとき次が成り立つ.

定理 3 (Kovalyov 89 [9]) c ≠ 1 ならば (4) with (F_{1}, F_{2}) = (∂_{t}u∂_{t}v, ∂_{t}u∂_{t}v) に対して SDGE が成り立つ. □

Kovalyov はこのような現象を ”Resonance-type behaviour in a system of nonlinear wave equations” と呼んでいる. さて Kovalyov 89 [9] では

(F_{1}, F_{2}) = (∂_{t}u∂_{t}v, (∂_{t}u)^{2}), ((∂_{t}v)^{2}, ∂_{t}u∂_{t}v), ((∂_{t}v)^{2}, (∂_{t}u)^{2})

の場合に対しては未解決であったが２次元の場合の Agemi and Yokoyama 98 [1], Hoshiga and Kubo [5] を経て Yokoyama [18] によりこれらの場合に対しても c ≠ 1 ならば (4) に対して SDGE が成り立つことが示された. これらの結果より Case 2 に対しては伝播速度の違いにより critical SDGE が得られることが分かり, ほとんど完全に解明されたといってよい. 現在は, これらの研究の続きとして Case 3 に対する critical SDGE の研究が Hoshiga, Katayama, Kubo, Kubota, Tsutaya, Yokoyama らにより行われている.

次に単独方程式 (2) に関連した system

\{ \begin{matrix}(∂_{t}^{2} − c^{2}Δ)u = |u|^{p_{1}}|v|^{p_{2}}, & (x, t) ∈ ℝ^{3} × [0, ∞), \\ (∂_{t}^{2} − Δ)v = |u|^{q_{1}}|v|^{q_{2}}, & (x, t) ∈ ℝ^{3} × [0, ∞) \end{matrix} (5)

を考える. ここで p_{2} と q_{1} は 1 以上の定数で p_{1} と q_{2} は 0 または 1 以上の定数とする. 定理１より p_{1} + p_{2} = q_{1} + q_{2} = 1 + \sqrt{2} の場合が critical case と考えられる. Kubo [10] によると p_{1}, p_{2}, q_{1}, q_{2} がすべて 1 以上で p_{1} + p_{2} = q_{1} + q_{2} = 1 + \sqrt{2} のとき c ≠ 1 ならば (5) に対して SDGE が成り立つ (但し古典解ではなく適当な意味の弱解に対して). これに対して p_{1} = q_{2} = 0 のときは次が成り立つ.

定理 4 (Kubo and Ohta [12]) p_{1} = q_{2} = 0, p_{2} = q_{1} = 1 + \sqrt{2} のとき c ≠ 1 でも SDB が起こる. □

註 1. 我々の知る限り, 定理４は異なる伝播速度をもつ半線形波動方程式系に対する critical SDB に関する初めての結果であると思われる (先ほど述べたように critical SDGE に関しては多くの研究がある).

2. p_{1} = 0 and q_{1}q_{2} > 0 及び q_{2} = 0 and p_{1}p_{2} > 0 の場合については現在計算中である.

定理４はもう少し一般化できるが, それは節を変えて次の節で述べることにする.

2 主結果

(5) で p_{1} = q_{2} = 0 とし p_{2} = p, q_{1} = q とおく. すなわち

\{ \begin{matrix}(∂_{t}^{2} − c^{2}Δ)u = |v|^{p}, & (x, t) ∈ ℝ^{3} × [0, ∞), \\ (∂_{t}^{2} − Δ)v = |u|^{q}, & (x, t) ∈ ℝ^{3} × [0, ∞), \\ u(x, 0) = εf_{1}(x), ∂_{t}u(x, 0) = εg_{1}(x), & x ∈ ℝ^{3}, \\ v(x, 0) = εf_{2}(x), ∂_{t}v(x, 0) = εg_{2}(x), & x ∈ ℝ^{3} \end{matrix} (6)

を考える. ここで c > 0, 1 < p ≤ q < ∞, ε > 0, f_{j}, g_{j} ∈ C_{0}^{∞}(ℝ^{3}) (j = 1, 2) とする.

まず c = 1 の場合を考える. このときは p < 1 + \sqrt{2} < q の場合にどうなるかが, 問題となり, 面白いところでもある. 以下

α = 1 − p(q − 2), β = 1 − q(p − 2). (7)

とおく. このとき定理 5 c = 1 とする. (6) に対して α + pβ < 0 and p > 2 ⟹ SDGE, α + pβ ≥ 0 ⟹ SDB. (Del Santo, Georgiev and Mitidieri [2] for α + pβ ≠ 0, Deng [3] for α + pβ > 0, Kurokawa and Takamura [13] and Kubo and Ohta [11] for α + pβ = 0)

次がこの講演の主結果である. Theorem A (Kubo and Ohta [12]) Let c > 0 and 1 < p ≤ q < ∞. Assume that α + pβ ≥ 0 with (7). Then the SDB occurs for (6) even if c ≠ 1.

Remark 1 When c = 1, a similar result to Theorem A holds in two space dimensional case (see [11]). However, there are some difficulties to treat the case c ≠ 1 in two space dimensional case, so it is an open problem whether a similar result to Theorem A holds or not when c ≠ 1 in two space dimensional case.

参考文献

[1] R. Agemi and K. Yokoyama, The null conditions and global existence of solutions to systems of wave equations with different propagation speeds, in “Advances in nonlinear partial differential equations and stochastics” (S. Kawashima and T. Yanagisawa ed.), Series on Adv. in Math. for Appl. Sci., Vol. 48, 43–86, World Scientific, Singapore, 1998.

[2] D. Del Santo, V. Georgiev and E. Mitidieri, Global existence of the solutions and formation of singularities for a class of hyperbolic systems, in “Geometric optics and related topics” (F. Colombini and N. Lerner ed.), Progress in Nonlinear Differential Equations and Their Applications, Vol. 32, 117–140, Berkhäuser, Boston, 1997.

[3] K. Deng, Nonexistence of global solutions of a nonlinear hyperbolic system, Trans. Amer. Math. Soc. 349 (1997), 1685–1696.

[4] K. Hidano and K. Tsutaya, Global existence and asymptotic behavior of solutions for nonlinear wave equations, Indiana Univ. Math. J. 44 (1995), 1273–1305.

[5] A. Hoshiga and H. Kubo, Global small amplitude solutions of nonlinear hyperbolic systems with a critical exponent under the null condition SIAM J. Math. Anal. (to appear).

[6] F. John, “Plane waves and spherical means applied to partial differential equations,” Interscience, New York, 1955.

[7] F. John, Blow-up of solutions of nonlinear wave equations in three space dimensions, Manuscripta Math. 28 (1979), 235–268.

[8] F. John, Blow-up of solutions for quasi-linear wave equations in three space dimensions, Comm. Pure Appl. Math. 34 (1981), 29–51.

[9] M. Kovalyov, Resonance-type behaviour in a system of nonlinear wave equations, J. Differential Equations 77 (1989) 73–83.

[10] H. Kubo, Private communication.

[11] H. Kubo and M. Ohta, Critical blowup for systems of semilinear wave equations in low space dimensions, Preprint (1998).

[12] H. Kubo and M. Ohta, Small blowup for systems of semilinear wave equations with different propagation speeds in three space dimensions, Preprint (1999).

[13] Y. Kurokawa and H. Takamura, Critical curve for p-q systems of nonlinear wave equations in three space dimensions, Preprint (1998).

[14] J. Schaeffer, The equation u_{tt} − Δu = |u|^{p} for the critical value of p, Proc. Roy. Soc. Edinburgh 101A (1985), 31–44.

[15] T. C. Sideris, Global behavior of solutions to nonlinear wave equations in three space dimensions, Comm. Partial Differential Equations 8 (1983), 1283–1323.

[16] H. Takamura, An elementary proof of the exponential blow-up for semilinear wave equations, Math. Meth. Appl. Sci. 17 (1994) 239–249.

[17] T. Tzvetkov, Existence of global solutions to nonlinear massless Dirac system and wave equation with small data, Tsukuba J. Math. 22 (1998) 193–211.

[18] K. Yokoyama, Global existence of classical solutions to systems of wave equations with critical nonlinearity in three space dimensions, J. Math. Soc. Japan (to appear).

[19] Y. Zhou, Blow up of classical solutions to □u = |u|^{1+α} in three space dimensions, J. Partial Differential Equations 5 (1992) 21–32.