Order preserving operator inequalities and their recent applications

古田孝之 (Takayuki Furuta) 東京理科大理
山崎丈明 (Takeaki Yamazaki) 東京理科大理

1 Introduction

本講演では、表題の内容について、古田研の結果を主にして、 survey 風に解説させていただきます。ここではヒルベルト空間 H 上の有界線形作用素について考える。作用素 T が positive (T ≥ 0 と書く) と

はこの場合 positive definite とし、 (T x, x) ≥ 0 が全ての x ∈ H で成り立つことと定義する。そして、 T が strictly positive (T > 0 と書く) とは、 T が positive かつ invertible と定義する。また、 positive operator について、次の有名な不等式が知られている。

Theorem A (Löwner-Heinz inequality 1934 [55, 64]). A ≥ B ≥ 0 ensures A^{α} ≥ B^{α} for any α ∈ [0, 1].

この Theorem A はシンプルで非常にわかりやすい形をしているが、指数 α ∈ [0, 1] という強い制限のもとでしか成り立たないところが、応用上不便であった。そこで、応用上使いやすいように次の定理が確立された。

Theorem B (Furuta 1987 [30]).

If A ≥ B ≥ 0, then for each r ≥ 0,

(i) (B^{\frac{r}{2}} A^{p}B^{\frac{r}{2}} )^{\frac{1}{q}} ≥ (B^{\frac{r}{2}} B^{p}B^{\frac{r}{2}} )^{\frac{1}{q}}

and

(ii) (A^{\frac{r}{2}} A^{p}A^{\frac{r}{2}} )^{\frac{1}{q}} ≥ (A^{\frac{r}{2}} B^{p}A^{\frac{r}{2}} )^{\frac{1}{q}}

hold for p ≥ 0 and q ≥ 1 with (1 + r)q ≥ p + r.

[figure: p; q; (0, −r); (1, 0); (1, 1); q = 1; p = q; (1 + r)q = p + r; Figure]

Theorem B の (i) または (ii) において、 r = 0 とおくと、 Theorem A を得ることができる。さらに、 Theorem B の (i) と (ii) は互いに同値だということも知られている。ここで、 Theorem B は次のように考える事が出来る。 f(□) = (A^{\frac{r}{2}} □A^{\frac{r}{2}} )^{\frac{1}{q}}, g(□) = (B^{\frac{r}{2}} □B^{\frac{r}{2}} )^{\frac{1}{q}} とした時、一般的には “A ≥ B ≥ 0 ならば A^{p} ≥ B^{p}” ということは p > 1 の時には成り立たないが、 Theorem B では、上の図で示されている p, q, r の範囲内では “A ≥ B ≥ 0 ならば f(A^{p}) ≥ f(B^{p}) や g(A^{p}) ≥ g(B^{p})” が成り立つということを言っている。また、上の図で描かれた p, q, r の範囲は Theorem B の (i) または (ii) の成り立つ範囲であり、それが best possible domain であることが、 [72] で示されている。なお、 Theorem B の別証明は [15, 31, 61] で得られており、 [32] では１ページの簡単な証明が示されている。そして、 Theorem B は今までに多くの研究者によって研究されており、今までに (A), (B), (C) の３つの分野で次のような応用が知られている。

(A) OPERATOR INEQUALITIES

(A-1) Several characterizations of operators log A ≥ log B and their applications; (A-2) Applications to the relative operator entropy; (A-3) Applications to Ando-Hiai log majorization; (A-4) Generalized Aluthge transformation on p-hyponormal operators; (A-5) Several classes associated with log-hyponormal and paranormal operators; (A-6) Order preserving operator inequalities; (A-7) Operator functions implying order preserving inequalities.

(B) NORM INEQUALITIES

(B-1) Several generalizations of Heinz-Kato theorem; (B-2) Generalizations of some theorems on norms; (B-3) An extension of Kosaki trace inequality and parallel results.

(C) OPERATOR EQUATIONS

(C-1) Generalizations of Pedersen-Takesaki theorem and related results.

この講演では、 Theorem B を使った最近の応用をいくつか紹介する。

2 Recent applications of Theorem B

2.1 Several characterizations of operators log A ≥ log B and their applications

positive invertible operator A と B において、 A ≥ B よりも弱い order として、 log A ≥ log B (chaotic order と呼ぶ) が知られている。この chaotic order は、例えば次の節で紹介する operator entropy への応用が知られているが、 Theorem B を使うことによって、今までに、次のような chaotic order の characterization が示されている。

Theorem C ([16, 20, 22, 23, 25, 34, 75]). Let A and B be positive invertible operators. Then the following assertions are mutually equivalent;

(i) log A ≥ log B, (ii) A^{r} ≥ (A^{\frac{r}{2}} B^{p}A^{\frac{r}{2}} )^{\frac{r}{p+r}} for all p ≥ 0 and r ≥ 0.

この、 Theorem C は p = r の時は [7] で示されている。なお、最近は Uchiyama [75] によって、 Theorem B において、簡単な変数変換だけを使った Theorem C の別証明が知られている。以下、 Uchiyama [75] による証明をここに紹介する。

Proof. (i) ⟹ (ii) を示す。 “A ≥ B ensures e^{rA} ≥ (e^{\frac{rA}{2}} e^{pB}e^{\frac{rA}{2}} )^{\frac{r}{p+r}} for p ≥ 0 and r ≥ 0” を示せばよい。

A ≥ B であることから、 1 + \frac{A}{n} ≥ 1 + \frac{B}{n} ≥ 0 が十分大きな n に対して成り立つことがわかる。そこで、 1 + \frac{A}{n} ≥ 1 + \frac{B}{n} ≥ 0 に対して、 p の代わりに np, r の代わりに nr として Theorem B を適用すると、

(1 + \frac{A}{n})^{\frac{np+nr}{q}} ≥ \{(1 + \frac{A}{n})^{\frac{nr}{2}} (1 + \frac{B}{n} )^{np} (1 + \frac{A}{n})^{\frac{nr}{2}} \}^{\frac{1}{q}}  (1)

for r ≥ 0, p ≥ 0 and q ≥ 1 with (1 + nr)q ≥ np + nr が成り立つ。また、 selfadjoint operator X に対して、 (1 + \frac{X}{n})^{n} ⟶ e^{X} as n ⟶ ∞ である事がわかっているので、よって (1) 式において n ⟶ ∞ とすることで e^{rA} ≥ (e^{\frac{rA}{2}} e^{pB}e^{\frac{rA}{2}} )^{\frac{r}{p+r}} for p ≥ 0 and r ≥ 0 を示すことができた。 (ii) ⟹ (i) を示す。 (ii) より、 log A^{r} ≥ log(A^{\frac{r}{2}} B^{p}A^{\frac{r}{2}} )^{\frac{r}{p+r}} が成り立つので、 log の性質を使うことによって、 log A ≥ log(A^{\frac{r}{2}} B^{p}A^{\frac{r}{2}} )^{\frac{1}{p+r}} を得る。よって、 p = 0 とすることで、 log A ≥ log B となり、 (i) を得た。また、 chaotic order の characterization として、 Theorem C の他に、次の結果を得た。

Theorem 1 ([11, 80]). Let A and B be positive invertible operators satisfying MI ≥ B ≥ mI > 0. Then the following assertions are mutually equivalent;

(i) log A ≥ log B, (ii) M_{h}(p)A^{p} ≥ B^{p} for all p ≥ 0.

where h = \frac{M}{m} > 1 and M_{h}(p) = \frac{h^{\frac{p}{h^{p}−1}}}{e log(h^{\frac{p}{h^{p}−1}} )}.

Remark. Theorem 1 にでてくる M_{h}(p) という数は、 p = 1 の時は Specht’s ratio と呼ばれ、例えば [13, 14, 71] で研究されている。

2.2 Applications to the relative operator entropy

chaotic order を使った代表的な応用として、 operator entropy が知られている。

Definition 2 (Relative operator entropy [12]). Let A and B be positive invertible operators. Then the relative operator entropy S(A|B) is defined by

S(A|B) = A^{\frac{1}{2}} (log A^{\frac{−1}{2}} BA^{\frac{−1}{2}} )A^{\frac{1}{2}} .

特に、 S(A|I) = −A log A のことを usual operator entropy [69] と呼ばれている。そして、 relative operator entropy に関して、これまでに次の結果が示されている。

Theorem D ([34, 35]). Let A, B and C be positive invertible operators. Then the following assertions are mutually equivalent;

(i) log A ≥ log B ≥ log C. (ii) (B^{\frac{r}{2}} A^{p}B^{\frac{r}{2}} )^{\frac{r}{p+r}} ≥ B^{r} ≥ (B^{\frac{r}{2}} C^{p}B^{\frac{r}{2}} )^{\frac{r}{p+r}} for all p ≥ 0 and r ≥ 0. (iii) S(B^{−r}|A^{p}) ≥ S(B^{−r}|B^{p}) ≥ S(B^{−r}|C^{p}) for all p ≥ 0 and r ≥ 0.

さらに、 Theorem D の (iii) において、 B を B^{−1} に置き換えて、 p = r = 1 と置くと、次のように relative operator entropy と usual operator entropy の関係としての次の結果が得られる。

Corollary E ([35]). Let A, B and C be positive invertible operators satisfying log A ≥ log B^{−1} ≥ log C. Then

S(B|A) ≥ −2B log B ≥ S(B|C).

2.3 Aluthge transformation on p-hyponormal operators

operator T が normal であるとは、 T^{∗}T = T T^{∗} を満たすことであるが、 normal を拡張した operator class として、次の operator class が知られている。

Definition F.

(i) T: hyponormal ⟺^{def} T^{∗}T ≥ T T^{∗}. (ii) T: p-hyponormal for p > 0 ⟺^{def} (T^{∗}T)^{p} ≥ (T T^{∗})^{p}. (iii) T: log-hyponormal ⟺^{def} T is invertible and log T^{∗}T ≥ log T T^{∗}. (iv) T: paranormal ⟺^{def} ∥ T^{2}x ∥≥ ∥T x∥^{2} for every unit vector x ∈ H.

この p-hyponormal については、 Theorem A を使うことによって、 p ≥ q > 0 の時、 T: p-hyponormal ⟹ T: q-hyponorml であることがわかる。このように、 T: p-hyponormal であれば、それより弱い operator class に入ることがわかるが、 Theorem B を使うことによって、次の結果が得られている。

Theorem G ([1, 2]). Let T = U|T | be a p-hyponormal operator for p ∈ (0, 1] and U be unitary operator. Then the following assertions hold:

(i) T̃ = |T |^{\frac{1}{2}} U|T |^{\frac{1}{2}} is (p + \frac{1}{2})-hyponormal for p ∈ (0, \frac{1}{2}], (ii) T̃ = |T |^{\frac{1}{2}} U|T |^{\frac{1}{2}} is hyponormal for p ∈ [\frac{1}{2}, 1].

Remark. このT̃ = |T |^{\frac{1}{2}} U|T |^{\frac{1}{2}} は Aluthge transformation と呼ばれ、現在ではこれの一般化 [3, 4, 5, 37, 51, 58, 81, 83] や更にlog-hyponormal についての Aluthge transformation などについても研究がなされている [74]。

Proof. T が p-hyponormal である、すなわち (T^{∗}T)^{p} ≥ (T T^{∗})^{p} が成り立つことは、 |T | = (T^{∗}T)^{\frac{1}{2}} より |T |^{2p} ≥ |T^{∗}|^{2p} = U|T |^{2p}U^{∗} が成り立ち、結局次の式を得る。

U^{∗}|T |^{2p}U ≥ |T |^{2p} ≥ U|T |^{2p}U^{∗}.  (2)

そこで、 A = U^{∗}|T |^{2p}U, B = |T |^{2p}, C = U|T |^{2p}U^{∗} と置くと、 (2) 式より A ≥ B ≥ C ≥ 0 である。また、 U が unitary であることから U^{∗}|T |U = A^{\frac{1}{2p}} が成り立つ。

(a) p ∈ (0, \frac{1}{2}] の時。 Theorem B を使うことによって、次の式を得る。

(T̃^{∗}T̃)^{p+ \frac{1}{2}} = (|T |^{\frac{1}{2}} U^{∗}|T |U|T |^{\frac{1}{2}} )^{p+ \frac{1}{2}}
= (B^{\frac{1}{4p}} A^{\frac{1}{2p}} B^{\frac{1}{4p}})^{\frac{1+ \frac{1}{2p}}{\frac{1}{2p} + \frac{1}{2p}}}
≥ B^{1+ \frac{1}{2p}} = |T |^{1+2p}
≥ (B^{\frac{1}{4p}} C^{\frac{1}{2p}} B^{\frac{1}{4p}})^{\frac{1+ \frac{1}{2p}}{\frac{1}{2p} + \frac{1}{2p}}}
= (|T |^{\frac{1}{2}} U|T |U^{∗}|T |^{\frac{1}{2}} )^{p+ \frac{1}{2}}
= (T̃T̃^{∗})^{p+ \frac{1}{2}} .

よって、 T̃ = |T |^{\frac{1}{2}} U|T |^{\frac{1}{2}} は (p + \frac{1}{2})-hyponormal for p ∈ (0, \frac{1}{2}] である。

(b) p ∈ [\frac{1}{2}, 1] の時。 U は unitary であるから (2) 式より

(U^{∗}|T |U)^{2p} ≥ |T |^{2p} ≥ (U|T |U^{∗})^{2p}

が成り立つ。そこで Theorem A を適用すると、

U^{∗}|T |U ≥ |T | ≥ U|T |U^{∗}

が成り立つ。よって、

T̃^{∗}T̃ = |T |^{\frac{1}{2}} U^{∗}|T |U|T |^{\frac{1}{2}} ≥ |T |^{2} ≥ |T |^{\frac{1}{2}} U|T |U^{∗}|T |^{\frac{1}{2}} = T̃T̃^{∗}

となり、 T̃ = |T |^{\frac{1}{2}} U|T |^{\frac{1}{2}} は hyponormal である。

2.4 On powers of p-hyponormal and log-hyponormal operators

前の節で紹介した p-hyponormal や log-hyponormal について、最近では Theorem B を使うことによってこれらの operator class の n 乗についても研究されている。

Theorem H ([5]). Let T be a p-hyponormal operator for p ∈ (0, 1]. The inequalities

(T^{n}^{∗}T^{n})^{\frac{p}{n}} ≥ (T^{∗}T)^{p} ≥ (T T^{∗})^{p} ≥ (T^{n}T^{n}^{∗})^{\frac{p}{n}}

hold for all positive integer n.

今までは、 T が hyponormal でも一般的に T^{2} も hyponormal なるとは限らないということが知られていたが [54]、 Theorem H では T が p-hyponormal ならば T^{n} は (\frac{p}{n})-hyponormal であるということを示している。この結果の拡張として、次の結果を得た。

Theorem 3 ([53]). Let T be a p-hyponormal operator for p ∈ (0, 1]. Then

(i) (T^{∗}T)^{p+1} ≤ (T^{2}^{∗}T^{2})^{\frac{p+1}{2}} ≤ ⋯ ≤ (T^{n}^{∗}T^{n})^{\frac{p+1}{n}}, (ii) (T T^{∗})^{p+1} ≥ (T^{2}T^{2}^{∗})^{\frac{p+1}{2}} ≥ ⋯ ≥ (T^{n}T^{n}^{∗})^{\frac{p+1}{n}},

hold for all positive integer n.

Theorem 3 において、それぞれの式に対して、 Theorem A を使い、更に、 T が p-hyponormal であることを考えることによって Theorem H を得る。

また、 log-hyponormal についても、次の結果が示されている。

Theorem I ([4]). If T is log-hyponormal, then T^{2^{n}} is log-hyponormal for any positive integer n.

そして、これの拡張にあたる次の結果も得た。

Theorem 4 ([79]). Let T be a log-hyponormal operator. Then

(i) (T^{∗}T) ≤ (T^{2}^{∗}T^{2})^{\frac{1}{2}} ≤ ⋯ ≤ (T^{n}^{∗}T^{n})^{\frac{1}{n}}, (ii) (T T^{∗}) ≥ (T^{2}T^{2}^{∗})^{\frac{1}{2}} ≥ ⋯ ≥ (T^{n}T^{n}^{∗})^{\frac{1}{n}},

hold for all positive integer n.

Corollary 5 ([79]). Let T be a log-hyponormal operator. Then T^{n} is also a log-hyponormal operator for all positive integer n.

2.5 Several classes associated with log-hyponormal and paranormal operators

2.3 節で紹介した、 hyponormal や p-hyponormal、 log-hyponormal は operator inequality で定義された class であるが、最近これらの class に対して Theorem B を使った研究がなされている [1, 3, 4, 5, 44, 53, 56, 74, 79, 81, 83]. そして、次のような operator class が新しく定義された。

Definition 6 ([44]). For each k > 0,

(i) T: class A ⟺^{def} |T^{2}| ≥ |T |^{2}.

(ii) T: class A(k) ⟺^{def} (T^{∗}|T |^{2k}T)^{\frac{1}{k+1}} ≥ |T |^{2}.

(iii) T: absolute-k-paranormal ⟺^{def} ∥ |T |^{k}T x ∥≥ ∥T x∥^{k+1} for every unit vector x ∈ H.

なお、 class A は class A(1) のことであり、 paranormal は absolute-k-paranormal のことであることが Definition 6 からわかる。また、この operator class を考えることによって、従来知られていた p-hyponormal と log-hyponormal との関係について、次のような結果を得た。

Theorem 7 ([44]). Let T ∈ B(H). Then the following assertions hold;

(i) T: log-hyponormal ⟹ T: class A. (ii) T: class A ⟹ T: paranormal. (iii) T: invertible and class A ⟹ T: class A(k) for k ≥ 1. (iv) For each k > 0, T: class A(k) ⟹ T: absolute-k-paranormal.

(v) T: paranormal ⟹ T: absolute-k-paranormal for k ≥ 1.

これまでは、 Ando [6] によって、 “log-hyponormal ⟹ paranormal ” であることが示されていたが、 Theorem 7 では operator inequality を使うことによって、 log-hyponormal と paranormal の関係について自然な解釈を与えることができ、 Ando の結果を拡張している。

最後に、これらの operator class の関係図を下の図に挙げておく。

log-hyponormal p-hyponormal (0 < p < 1)  hyponormal quasihyponormal class A paranormal normaloid  k-hyponormal (k > 1) k-quasihyponormal (k > 1) class A(k) (k > 1) absolute-k-paranormal (k > 1)

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