Submanifold Geometry, Lie Group Action and Its Applications to Theoretical Physics 2024

---

Weinjiao Yan (Beijing Normal University, China): 2 talks, 対面
Joseph Ansel Hoisington (Colby College, USA): 対面
Jong Taek Cho (Chonnam National University, Korea): オンライン
Giuseppe Pipoli (Univesità degli Studi dell'Aquila, Italy): オンライン
Kurando Baba (Tokyo University of Science)
Naotoshi Fujihara (Tokyo University of Science)
Tomoki Fujii (Tokyo University of Science)
Kota Hattori (Keio University)
Yasushi Homma (Waseda University)
Toru Kajigaya (Tokyo University of Science)
Keita Kunikawa (Tokushima University)
Masahiro Morimoto (Tokyo Metropolitan University)
Toshihiro Shoda (Kansai University)
Daisuke Tarama (Ritsumeikan University)

Kurando Baba (Tokyo University of Science)
"Atiyah-Hitchin多様体内の特殊Lagrange部分多様体の構成に向けて"
Harvey-Lawson(1982)は一般のリーマン多様体内のキャリブレート部分多様体の概念を導入した。この部分多様体はホモロジー類内で体積最小となることが示される。彼らはキャリブレート部分多様体の具体例としてCalabi-Yau多様体内の特殊Lagrange部分多様体を与えた。特殊Lagrange部分多様体は数学だけでなく数理物理でも盛んに研究されている対象である。特殊Lagrange部分多様体の構成は一つの基本的な問題となる。その一つのアプローチとしてモーメント写像を応用した構成法知られており，先行研究としてNoda(2008), Hashimoto-Sakai(2012), Koike(2019)などが知られている。本講演では，Atiya-Hitchi多様体とよばれる4次元hyperk\"ahler多様体内においてモーメント写像を応用した特殊Lagrange部分多様体の構成に向けたいくつかの結果について説明する。本研究は，新井真人氏(山形大学)との共同研究に基づく。

Jong Taek Cho (Chonnam National University, Korea): オンライン
"Contact structures, CR-structures and hypersurface geometry"
Given a contact one-form, we have the two fundamental associated structures, that is, a Riemannian metric and an almost CR-structure. In this talk, we first review the previous works which imply that (Cartan’s) local symmetry is too strong to impose on contact manifolds. Next, we introduce a notion of pseudo-Hermitian symmetry from the viewpoint of almost CR-structures. Then we give a complete classification of non-Sasakian contact manifolds with the pseudo-Hermitian symmetry. Indeed, they are realized as real hypersurfaces of the complex quadric, the non-compact dual space and the complex Euclidean space. Moreover, we give a classification of pseudo-Hermitian symmetric CR-space forms of dimension greater than 3 and the dimension 3.

Naotoshi Fujihara (Tokyo University of Science)
"ワープ積多様体上のグラフ平均曲率流"
開区間と閉リーマン多様体から構成されるワープ積多様体において、グラフ超曲面を定義してその平均曲率流を考える。本講演では、そのワープ積多様体における平均曲率流のグラフ保存性およびグラフ平均曲率流の時間大域的存在についての結果を紹介する。また、曲線短縮流に特有の性質やリー群作用で不変となるような平均曲率流について説明する。

Tomoki Fujii (Tokyo University of Science)
"超極作用に関して不変なグラフソリトン"
本講演では、関数のグラフで表される平均曲率流のソリトンに関してお話しする。初めに、等径超曲面上一定の値を持つ球面上の関数のグラフとして与えられるトランスレイターの形状分類について説明する。その後、コンパクト型対称空間上の関数のグラフとして与えられるソリトンについて得られた結果を紹介する。特に対称空間の階数が1である場合について、イソトロピー作用に関して不変な関数のグラフとして与えられるトランスレイターの形状を分類した結果について説明する。また、階数が2以上の場合について、余等質性2のHermann作用に関して不変な関数のグラフとして与えられるトランスレイターについて得られた結果を紹介する。さらに、対称空間上のイソトロピー不変な余次元2の回転グラフソリトンに関する最近の進展について述べる。

Kota Hattori (Keio University)
"写像のエネルギーとGibbons-Hawking計量"
リーマン多様体の間の滑らかな写像のディリクレエネルギーを考える。 この汎関数の臨界点は調和写像と呼ばれるが、一般にはエネルギーを最小化するとは限らない。 この講演では、滑らかな写像に対するcalibrated幾何学について説明し、 その具体例としてGibbons-Hawking計量に付随する超ケーラー運動量写像を紹介する。

Joseph Ansel Hoisington (Colby College, USA): 対面
"Energy-minimizing maps of real and complex projective spaces"
We show that the infimum of the energy in a homotopy class of maps from complex projective space to a Riemannian manifold is proportional to the infimal area in the homotopy class of maps of the 2-sphere representing the induced homomorphism on the second homotopy group. We then establish a two-sided estimate for the infimum of the energy in a homotopy class of maps from real projective space to a Riemannian manifold, as well as a related estimate for a wider class of energy functionals. Together, these results suggest that the problem of determining the infimum of the energy in a homotopy class, solved for complex projective space by our first result, may be more complicated for real projective space.

Yasushi Homma (Waseda University)
"四元数ケーラー多様体上のワイゼンベック公式とその応用"
ワイゼンベック公式は微分幾何の様々な場面で有用であるが，四元数ケーラー多様体上では微分幾何学と$Sp(1)Sp(n)$の表現論が密接に絡み合い，様々な幾何学的結果を計算で得ることが可能である．この講演では，ワイゼンベック公式がどのように得られるかを解説し，様々な応用について述べる．特に，Semmelmann氏との共同研究で得られた最近の結果について詳しく述べたい．

Toru Kajigaya (Tokyo University of Science)
"コンパクト対称空間内の極小超曲面の第1ベッチ数によるモース指数評価: パートII"
國川氏の講演に続いて, 共同研究の結果の証明の概要を紹介する. 指数評価の証明は, Savo および Ambrozio-Carlotto-Sharp の手法に触発されたものである. 彼らのアプローチは、ユークリッド空間への等長はめ込みを用いた一種の「平均化法」に基づく. 我々の証明における重要な観察は, この手法がコンパクト半単純リーマン対称空間への等長はめ込みを考えることで自然に拡張されるという点にある. この方法がどのように機能するか詳しく説明する.

Keita Kunikawa (Tokushima University)
"コンパクト対称空間内の極小超曲面の第1ベッチ数によるモース指数評価：Part I"
本講演では，コンパクト半単純リーマン対称空間$M=G/K$において， 不安定な極小閉超曲面$\Sigma$のモース指数が$\Sigma$の第1ベッチ数の定数倍で 下から評価できることを紹介する．ここで，定数は$M$にしか依存しない． より一般には，正のリッチ曲率をもつリーマン多様体内の極小閉超曲面についても 同様の評価が成り立つだろうとSchoen，Marques-Nevesらは予想しており， 我々の結果は彼らの予想に部分的な解答を与えるものになっている． この講演の内容は梶ヶ谷徹氏（東京理科大）との共同研究によるものであり， Part Iを國川が，Part IIを梶ヶ谷氏が担当する．Part Iでは極小超曲面のモース指数評価に関する 先行研究や関連する研究についての概要を解説する予定である．

Masahiro Morimoto (Tokyo Metropolitan University)
"アフィン対称空間上の平行移動写像"
C.-L. Terng と G. Thorbergsson は，平行移動写像と呼ばれる，無限次元ヒルベルト空間からコンパクト・リーマン対称空間への自然なリーマン沈めこみを研究した．その後，小池直之は彼らの理論を非コンパクト型リーマン対称空間上の場合へ拡張した．本講演では，これらの理論のアフィン幾何学の枠組みにおける一般化について，講演者の研究で得られた結果を紹介する．

Giuseppe Pipoli (Univesità degli Studi dell'Aquila, Italy): オンライン
"Vanishing theorems for minimal stable hypersurfaces"
We will discuss some topological obstructions to the existence of stable minimal hypersurfaces. In particular, we will show the non-existence of nontrivial harmonic p-forms and nontrivial harmonic spinors on stable minimal hypersurfaces under suitable curvature assumptions of the ambient manifold. This talk is based on a joint work with Francesco Bei (Sapienza, Università di Roma).

Toshihiro Shoda (Kansai University)
"コンパクトRiemann面からRiemann球面への指数1なる正則写像の集合について"
コンパクトRiemann面からRiemann球面への正則写像の指数は, 極小曲面のMorse指数を記述するために Montiel-Rosによって導入された. 特に, 安定性の観点から, 指数1なる正則写像が重要視される. 三重周期的極小曲面の種数3なる古典的な具体例のGauss写像で指数が1となるものが多く知られている. 一方, Bolza曲面という種数2のコンパクトRiemann面からの正則写像で指数が1なるものが存在する. 本講演では, 前者を含み, 後者を境界に含むような指数1の正則写像の集合が存在することを報告する.

Daisuke Tarama (Ritsumeikan University)
"Lie群の左不変測地流と自由剛体の力学系"
本講演では，Lie群の左不変計量に関する測地流のHamilton力学系について取り扱う． Lie群としてSO(3)をとると，この力学系は自由剛体の回転運動を記述するが，自由剛体は解析力学における可積分系の典型例である． この系の一般化として，MishchenkoとFomenkoによって半単純Lie群上に測地流が可積分となるあるクラスの左不変計量を導入した． 講演の主要部分は，半単純Lie群上のMishchenko-Fomenko型左不変計量に関する測地流の（相対的）平衡点の力学系的性質に関するものである． とくに，一般の余随伴軌道上の孤立平衡点のWilliamson型のルート系の観点による特徴づけが与えられる． 講演の残りの時間で，最近の進展について言及する． 本講演はTudor Ratiu（上海交通大）との共同研究を含む．

Weinjiao Yan (Beijing Normal University, China): 2 talks, in-person
"Orthogonal almost complex structure and its Nijenhuis tensor"
We demonstrate that on an almost Hermitian manifold (M^2n, J, ds^2), a 2-form ϕ = S*Φ, the pulling back of the K¨ahler form Φ on the twistor bundle over M^2n , is non-degenerate if the squared norm |N|^2 of the Nijenhuis tensor is less than 64/5 when n ≥ 3 or less than 16 when n = 2. As one of consequences, there exists no orthogonal almost complex structure on the standard sphere S^6 with |N|^2 < 64/5 everywhere. This talk is based on joint work with Professor Zizhou Tang.
"Isoparametric foliation and complex structures"
We construct complex structures on a series of isoparametric hypersurfaces and focal submanifolds in the unit sphere. As a special case, we obtain a complex structure on the product of S^6 and N^8 (a closed manifold). This talk is based on joint works with Professor Zizhou Tang and Professor Chao Qian.