ラプラス方程式の解法例

２次元直交座標系で４辺の電位（境界値）が与えられた例題

変数分離による解法

第１項（n=1)までの和

第29項（n=29)までの和

となり、始めの数項で３辺の電位が０である境界条件を満たしながら、大雑把には電位分布を表しているが、残り一辺の電位がV０である境界条件については、n=29程度までの和では振動関数の収束が悪く、十分には満足していない様子が見える。「緩和法による数値計算」の解と収束の仕方の特徴を比較してみよう。

「格子点i,jにおける電位V（i,j)は周りの４つの隣接する格子点の電位の平均値に等しい」という格子化したラプラス方程式

をつじつまがあうようになるまでくり返し適用して解を求める。（計算例[T字型の境界条件を例にとっての説明])

初期条件

iteration=200回目

となり、３辺の電位が０で、残り一辺の電位がV０である境界条件を厳密に満たすが、全体の電位分布は極めてゆっくり収束する。「変数分離による解法」の解と収束の仕方の特徴を比較してみよう。