マイクロ波散乱実験

3-2　一次元格子からの散乱

　一次元方向に並ぶ原子による散乱を考えよう。導入として、二本の原子棒からのBragg反射を見る。二本の原子棒からの反射波の位相差は(波数)×(光路差)で求めることが出来る。

図4　Bragg反射
位相差=

(Kは実数)・・・(1)
このとき、K=m (mは整数)であれば
　

(mは整数)・・・(2)
となり、Braggの条件と同値で強め合いが起こる。このことを実験2で確認する。

実験2

図5　二本の原子棒からの反射(格子定数b=6[cm]、波長λ=3.27[cm])

　図5の様に結晶台を、二本の原子棒を通る平面に垂直な平面が入射ビームとなす角がθとなるように、また受光器がψ=2θとなるように同時に動かして、入射角=反射角=θを設定する。ψ(=2θ)＞50°なる範囲で測定するということを考慮に入れて、θを25°から75°まで1°間隔で変化させ、Intensityを測定せよ。

解説2

(2)式からの計算によると、θ₁=15.8°、θ₂=33.0°、θ₃=54.8°のところ(図6)で反射波が強め合うはずである(θ₁は測定範囲外なのでこの実験では確認ができない)。隣り合う原子棒からの反射波はθ₁で2π、θ₂で4π、θ₃では6πだけ位相がずれているのだが、図6の様なθ依存性を見ただけでは15.8°、33.0°、54.8°と、不規則((2)式によりsinθに比例してしまうため)で位相に関する情報が分かりにくい。そこでsinθを含む次の量を考える。

図6　二本の原子棒からの反射波の合成波

図7　散乱ベクトル

散乱ベクトルという量
　　

を用いると、弾性散乱である場合

より図7から
　

・・(3)
さらに、(3)式に(1)式を代入して
　

(Kは実数)・・・(4)
　となる。ここで、(4)式に(3)式を代入して得られる
　

によって図6の横軸をθからKに変換すると図8の様になる。K=m(mは整数)となるK=1、K=2、K=3では位相差がそれぞれ2π、4π 、6πとなっていて、強め合っているのが分かる。これにより位相の情報も一見して分かるようになった。

図8　横軸をKとしたグラフ

　この様に波数空間で考えると、(4)式において

が

方向に

の整数倍の大きさを持てば反射波は強め合うことができる。この波数空間を逆格子空間といい、この空間における、

方向に

の整数倍になる位置を逆格子点という(図9)。また、逆格子点を指し示すベクトルは
　

(mは整数)
で表され、この

を逆格子ベクトルと呼ぶ。
この場合、散乱ベクトル

が逆格子ベクトル

に一致
　

すれば反射波は強め合うのである。

図9　逆格子空間と逆格子点

つぎに、原子棒を三本にしたらどうなるだろう。

実験3

図10　三本の原子棒からの反射(格子定数b=6[cm]、波長λ=3.27[cm])

　実験2と同様に、原子棒を三本にして行え。

解説3

図11　二本と三本の比較

　二本と三本を比較すると(図11)二本の場合に強め合っていたK=2、K=3(位相差はそれぞれ4π、6π)では、三本の場合のほうがIntensityが一本分強い。また、二本の場合に弱め合っていたK=1.5、K=2.5では、三本置いたことにより小さなピークが出来ている。K=1.5、K=2.5において隣り合う原子棒からの反射波の位相差はそれぞれ3π，5πつまり三本のうちの二本が打ち消し合い、残りの一本からの反射波が残ってしまう。逆にK=

、K=

では位相差がそれぞれ

、

となり、三本は完全に打ち消し合う。
　これまでは散乱ベクトル

が

方向にあったため、

方向に並ぶ原子の周期により、強め合ったり、弱め合ったりしていた。では、

が

方向以外を向いたらどうなるだろうか。

実験4

図12　散乱の様子(格子定数b=6[cm]、波長λ=3.27[cm])

方向に直交する単位ベクトルをとし、散乱ベクトルが
　(H、Kは実数)・・・(5)
となるときの散乱(a は適当な正の実数で、便宜上方向の係数とそろえて記述した)について、以下の実験を行え。

図13　図14
図13、図14　波数空間におけるの変化

実験4＿1
　図13の様に、H=2.0(a=6とする)としてKを0から3.0まで0.1ごとに変化させてIntensityを測定せよ((2 K)Scan)。

実験4＿2
　図14の様に、H=2.2(a=6とする)としてKを0から2.8まで0.1ごとに変化させてIntensityを測定せよ((2.2 K)Scan)。
　設定は次の通り。

図15　初期設定

図16　測定の様子
　図15の様に原子棒を配置し(b=6[cm]、三本一列)、入射ビームと方向を同一にして、その後Labviewに従って結晶台をω、受光器をψだけ回転させよ(図16)。

解説4

図17を見ると、なんとK=整数でピークが現れて(強め合って)いるではないか。実験3と併せて考えてみると、散乱ベクトル

が(5)式において、Hの値によらずKが整数となっていれば強め合っているのが分かる。ある

における、隣り合う原子棒からの反射波の位相差を調べてみよう。

図17　(2 K)、(2.2 K)Scanの結果

図18　一次元(H K)散乱の様子

　

・・・(6)
また、位相差は図18より
　位相差=(波数)×(光路差)
　=

・・・(7)
(7)式に(6)式の

方向の成分を代入して
　　位相差=

・・・(8)
となり、位相差はHに依らず、Kが整数であれば強め合うのである。
　結果として、一次元格子からの散乱は

が図19の様に線上のどこかに位置すれば反射波は強め合う。これは

方向に周期性がないことに起因している。

図19　一次元格子の逆格子空間と逆格子点

　ここで、図19の線上に沿ってScanを行ってみよう。

実験5

図20　　　　　　　　　　　　　　　図21
図20、図21　の変化

実験5＿1
　図20の様に、K=0として(a=6とする)Hを1.6から3.5まで0.1ごとに変化させてIntensityを測定せよ((H 0)Scan)。

実験5＿2
　図21の様に、K=2.0として(a=6とする)Hを0から2.9まで0.1ごとに変化させてIntensityを測定せよ((H 2)Scan)。
　　実験3、実験4と同様に結晶台に原子棒を配置し(b=6[cm]、三本一列)、設定も実験4と同様に行え。

解説5

図22　(H 0)、(H 2)Scanの結果

　図22を見ると、原子棒の散乱能(解説1参照;実験1ではψ＞50°で散乱能はほぼ一定と見なしたが、実際には多少の角度によるIntensityの違いがあったはずだ)が起因して多少の強弱があるが、それでも全てのHにおいてIntensityが強かった。Hの値によらず位相差は(8)式にK=0((H 0)Scan)、K=2((H 2)Scan)を代入して得られるように0((H 0)Scan)、4π((H 2)Scan)となっているためである。
　実は、観測されたIntensityは格子のFourier変換に関係していることが以下の議論から分かる。二次元散乱体からの散乱を考えよう。