部門概要

この研究グループでは、以下のような研究を行います。以下、クラスターとは、いくつかの原子が金属結合、共有結合、イオン結合等の結合力によって結びついてできているものとします．クラスターを，以下のように重み付き色付き有向グラフとして捉えられることにします。クラスターを構成する原子の原子核達を頂点の集まり(これを\(V(G)\)と表す)とし、2つの頂点\(v,\,w\)を原子核としてもつ原子間に何かしらの結合力が働いているとき、それらの頂点を辺(これを\(|vw|\)と表す)で結び、その結合力の強さに比例して、その辺\(e := |vw|\)に重み(これを\(m(e)\)と表す)を与えると共に、向きと色を与えます。向きと色について説明します。辺の全体を\(E(G)\)と表し、有向辺の全体を\(E_o(G)\)と表す。組\(G = (V(G),\,E(G))\)は、数学のグラフ理論においてグラフとよばれるものになります。辺\(e = |vw|\)に\(v\)から\(w\)に向かう向きを与えたものを\(|\vec{vw}|\)と表し，辺\(e = |vw|\)に\(w\)から\(v\)に向かう向きを与えたものを\(|\vec{wv}|\)と表すことにします。ここで、\(|\vec{vw}|\)は、\(vw\)の上に→を付けたものを表すことにします。グラフ\(G\)の各辺\(e \in E(G)\)に対し、向き（これを\(O(e)\)と表す）を一つずつ与えたものを有向グラフとよびます。正確には、対応\(O\ (e \mapsto O(e))\)を\(G\)の向きといい、組\((G,\,O)\)を有向グラフとよびます。次に、色について説明します。各頂点\(v\)に、\(v\)を原子核とする原子の構造に付随して量\(C(v)\)を対応させます。この量は、実数やベクトル、あるいは、それらの組であってり、幅広いものとします。この量\(C(v)\)を頂点\(v\)に与える色とよぶことにします。各頂点\(v \in V(G)\)に、色\(C(v)\)を対応させる対応\(C\ (v \mapsto C(v))\)を\(G\)の色とよび、組\((G,\,C)\)を，色付きグラフとよぶことにします。このように、クラスターを、重み付き色付き有向グラフ\((G,\,m,\,C,\,O)\)として捉えることにします。

重み付き色付き有向グラフ\((G,\,m,\,C,\,O)\)に対し、辺\(e \in E(G)\)達の和集合を\(|G|\)と表すことにします。ここで，\(|G|\)は、まだ、3次元ユークリッド空間\(\mathbb{R}^3\)の中には入っていないことを注意しておきます。\(|G|\)が、3次元ユークリッド空間\(\mathbb{R}^3\)の中で、どのような形状（＝姿）で存在するはずであるか、つまり、考えているクラスターが\(\mathbb{R}^3\)内でどのような形状（＝姿）で実在し、それがどのような対称性をもつかを調べることは大変重要です。このクラスターの形状は、幾何学的変分学（＝幾何解析学）の見地から、以下のように調べるべきであると考えます。まず、\(|G|\)から\(\mathbb{R}^3\)への各辺の上で滑らかな写像（以下、このような写像をPS写像とよびます。）の全体を\(\mathrm{Map}_{PS}(|G|,\mathbb{R}^3)\)と表し、\(G\)の図形的構造、\(G\)の重さm，及び、\(G\)の色\(C\)に依存して適切に定めた\(\mathrm{Map}_{PS}(|G|,\mathbb{R}^3)\)上で定義されるエネルギー汎関数\(E_{m,C}\)をとり、その(－1)倍の汎関数－\(E_{m,C}\)の臨界点を与えるPS写像\(f\)を求めます。このとき、\(f(|G|)\)が、\(\mathbb{R}^3\)内で安定した状態で存在する形状、つまり、考えているクラスターの\(\mathbb{R}^3\)内での姿であると解釈します。ここで、汎関数－\(E_{m,C}\)の臨界点を与えるPS写像は、一つとは限りませんので、あくまでも、考えているクラスターの\(\mathbb{R}^3\)内での姿の候補が、リストアップされるだけであることを注意しおきます。

また、\(\mathbb{R}^3\)上の（色\(C\)から定める）あるファイバーバンドル\(\pi : E \to \mathbb{R}^3\)を考え、その全空間\(E\)内での\(|G|\)の姿、及び、その対称性も以下のような方法で調べたいと考えています。\(|G|\)から\(E\)へのPS写像の全体を\(\mathrm{Map}_{PS}(|G|,E)\)と表し、\(G\)の図形的構造と\(G\)の重さ\(m\)に依存して適切に定めた\(\mathrm{Map}_{PS}(|G|,E)\)上で定義されるエネルギー汎関数\(E_m\)をとり、その(－1)倍の汎関数－\(E_m\)の臨界点を与えるPS写像\(f\)を求めます。このとき、\(f(|G|)\)が、\(E\)内で安定した状態で存在する形状、つまり、考えているクラスターの\(E\)内での姿であると解釈します。

さらに、重み付き色付き有向グラフ（これは、デジタルの空間）の適切な細分を定義し、この細分をとる操作を無限回繰り返していったときに極限として現れるアナログの空間が、どのような接続付きリーマン多様体（あるいは、より一般に、接続を備えた測度付き距離空間）になるか、また、その\(\mathbb{R}^3\)や\(E\)内での姿を調べたいと考えています。ここで、接続付きリーマン多様体とは、多様体にリーマン計量という内積の場と捩じれをもつアフィン接続を与えたものであり、接続を備えた測度付き距離空間とは、（リーマン多様体を一般化した）距離構造と測度を備えた空間のある種の接続を与えたもののことです。接続とは、大雑把に述べると、その空間上の各曲線に沿う平行移動（これは、その曲線の視点におけるその空間の接空間から終点における接空間への線形同型写像）を与えるようなもののことである。

この研究グループでは、以下のような研究を行います。微分幾何学におけるゲージ理論は、リーマン多様体(または，ローレンツ多様体)\((M,\,g)\)上のあるコンパクトリー群\(G\)を構造群にもつ主バンドル\(\pi : P \to M\)と\(G\)のある表現\(\rho : G \to GL(\mathbb{C}^k)\)に付随するベクトルバンドル\(\pi_\rho : E_{P,\rho} \to M\)を用いて研究されます。ここで、\(\pi : P \to M\)が、\(G\)を構造群にもつ主バンドル（略して、\(G\)バンドル）であるとは大雑把に述べると、各点\(x \in M\)に対し、\(x\)の原像\(\pi^{-1}(x)\)が\(G\)と同相であり、全空間\(P\)が\(G\)を束ねたようなものになっているもののことであり、ベクトルバンドルとは、全空間がある次元\(k\)の数ベクトル空間\(\mathbb{R}^k\)を束ねたようなものになっているもののことです。

リーマン多様体\((M,\,g)\)（これはアナログ空間）上の量子状態の時間発展は、その全空間\(E_{P,\rho}\)上で適切なハミルトニアンをとり、それを用いて量子状態の空間\(\Gamma(E_{P,\rho})\)（\(E_{P,\rho}\)の切断全体のなす空間)からそれ自身へのエルミート作用素を用いて定義したシュレディンガー方程式（または、ディラック方程式）の解として与えられます。一方、重み付き色付き有向グラフ\((G,\,m,\,C,\,O)\)（これはデジタル空間）上の量子状態の時間発展は、シュレディンガー方程式（または、ディラック方程式）を離散化した方程式の解として与えられます。シュレディンガー方程式を離散化した方程式は、時間連続空間離散発展方程式として与えられ、ディラック方程式を離散化した方程式は、時間離散空間離散発展方程式として与えられます。これらの解である量子状態の時間発展は、量子ウォークとよばれます。この研究グループでは、重み\(m\)と色\(C\)を用いて、離散化されたシュレディンガー方程式と離散化されたディラック方程式を適切に定義し、その解として定まる量子ウォークを研究したいと考えています。時間離散量子ウォークの時間発展作用素は、シフト作用素とコイン作用素の合成で与えられます。シフト作用素は、有向辺全体からなる集合をいくつかのループに分割し、そのループに沿った差分法を用いて定義されます。一方、コイン作用素は、\(G\)の各頂点\(v\)ごとに、ある次数のユニタリ行列\(C_v\)をとり、それらを用いて定義されます。このように、有向辺全体からなる集合のループ分割とユニタリ行列の族\(\{C_v\}_{v \in V(G)}\)をどのように選んで、時間発展作用素を定義するかがキーとなります。

この研究グループでは、環状のDNA・RNAの位相幾何学的な研究、及び、微分幾何学的な研究を行います。環状のDNA・RNAの位相幾何学的な研究とは、環状のDNAを構成する2つのポリデオキシリオボヌクレオチドのつくる絡み目の構造、及び、環状のRNAを構成する一つのポリリボヌクレオチドのつくる結び目の構造の酵素の作用による外在的な位相変化に着目して研究を行うことを意味します。一方、環状のDNA・RNAの微分幾何学的な研究とは，環状のDNAを構成する2つのポリデオキシリオボヌクレオチドのつくる絡み合った2重螺旋構造や環状のRNAを構成する一つのポリリボヌクレオチドのつくる螺旋構造の形状（微妙な曲がり具合）を研究することを意味します。具体的に、以下の研究を行います。

「DNAレベルでの遺伝子組換え」や「DNAからRNAへの転写(及び，編集)」を起こす様々な酵素の働き方に着目し、「DNAレベルでの遺伝子組換え」や「DNAからRNAへの転写(及び，編集)」におけるトポロジー変化（(＝位相構造(連続的な繋がり具合)の変化）をコントロールする新規の方法を分子生物学・核酸生命学と位相幾何学双方の視点から研究を行います。

DNAは、酸素O，リンP，水素H，窒素N，メチレン\(\mathrm{CH_2}\)，水酸基OH，及び，酸化物イオン\(\mathrm{O}^-\)からなる高分子であり、重み付き色付き有向グラフとして捉えられる。これを\((G,\,m,\,C,\,O)\)と表します。グラフ\(G\)の構造とm,Cに依存して適切に定義したエネルギー汎関数\(E_{m,C}\)の臨界点\(f\)の像\(f(|G|)\)が、DNAの安定した形状であると解釈し、DNAの\(\mathbb{R}^3\)における形状（安定した状態）の2重螺旋構造の微妙な曲がり具合等がどうなるかを理論的に調べたいと考えています。

位相不変量を計算するためのゲージ理論(場の量子論)を位相的場の理論といいます。例えば、Chern-Simons理論は、3次元球面\(S^3\)内の結び目(または，絡み目)Kのジョーンズ多項式とよばれる結び目不変量\(J(K)\)を、\(S^3\)上の\(SU(2)\)バンドルの接続の空間上で定義されるチャーン・サイモンズ汎関数，及び，Kに沿うその\(SU(2)\)バンドルの接続のホロノミーで決まるウィルソンループという量を用いて記述するという理論であり，代表的な位相的場の理論の一つです。ここで，\(S^3\)は2つの3次元ボ－ル\(B^3\)をそれらの境界（これらは\(S^2\)と同一視される）に沿って貼り合わせたものとみれるので，\(\mathbb{R}^3\)内の結び目\(K\)（これは、\(B^3\)内の結び目とみなされる）は、\(S^3\)内の結び目とみなすことができることを注意しておきます。

酵素の働きによって、元の環状のDNAを構成する2つのポリデオキシリオボヌクレオチドのつくる絡み合った2重螺旋構造のつくる２つの結び目\(K_1,\,K_2\)からなる絡み目\(L = K_1 \cup K_2\)のジョーンズ多項式\(J(L)\)のチャーン・サイモンズ汎関数と\(K_1,\,K_2\)に沿うウィルソンループを用いた記述式の値が変わらなければならないとが示されれば、\(J(L)\)が変わらなければならないことが示され、それゆえ、元のDNAを構成する2つのポリデオキシリオボヌクレオチドのつくる絡み合った2重螺旋構造のつくる絡み目\(L\)と，酵素が働いた後のDNAの定める同様な絡み目L'に対し，空間対\((S^3,\,L)\)と\((S^3,\,L')\)が位相空間の対として異なることが示されます。このように、位相的場の理論を用いて、酵素の働きによるDNAを構成する2つのポリデオキシリオボヌクレオチドのつくる絡み合った2重螺旋構造2鎖の(外在的)位相構造の変化を理論的に分析することを目指します。

この研究グループでは、以下のような研究を行います。多結晶材料を形成する複数の結晶粒同士が隣接する界面を粒界といいいます。

第１に、多結晶体の粒界と強度をコントロールする研究(=粒成長を分析する研究)を行います。さらに、この研究を複合材料力学の研研究へ応用したいと考えています。多結晶体ができるまでの過程を，以下のように理論的に捉えることにします。液体を急激に冷却して固体にするときや、粉末を焼結(焼いて溶かした後冷却)させりときや、熱可塑性結晶性樹脂を溶結(加熱して溶かした後冷却)させるときなど、はじめに、多数の活性点で結晶粒の元が発生し、その後、それらが成長し、結晶粒となり、これらが隙間なく貼り合わさった状態の物質が生成されます。これが多結晶体(不安定な状態)であり、結晶粒同士が貼り合わさった面がその多結晶体の粒界とよばれます。また、隣接する結晶粒同士の方位関係が重要なので、密度場と共に方位場の時間発展を議論することになります。この過程は、密度場と方位場を用いて定義されるフェイズフィールド(関数)の時間発展方程式にしたがって時間変化し、全体的に固体に変わった瞬間、不安定な多結晶体ができると考えます。この時間発展方程式は、Ginzuburg-Landau型の自由エネルギー汎関数を適切にアレンジしたエネルギー汎関数の(－1)倍の勾配流方程式(Allen-Cahn方程式やCahn-Hilliard方程式をアレンジした時間発展方程式)として定義することにします。次に、上述の不安定な多結晶体から安定した多結晶体に至るまでの過程を理論的に次のように捉え、研究することにします。不安定な多結晶体の各結晶粒の状態と結晶粒同士が界面の一部に沿って貼り合わさっている状態等によって、多結晶体をいくつかの重み付き色付き有向グラフが貼り合わさったものとして捉え、これを簡単のため、\(G\)と表し、\(G\)から\(\mathbb{R}^3\)へのPS写像全体のなす空間を\(\mathrm{Map}_{PS}(|G|,\mathbb{R}^3)\)と表すことにして、\(\mathrm{Map}_{PS}(G,\mathbb{R}^3)\)上で適切にエネルギー汎関数\(E\)を定義し、－\(E\)の臨界点を与えるPS写像\(f\)を求めます。このとき、\(f(|G|)\)が、\(\mathbb{R}^3\)内で安定した状態に落ち着いた多結晶体の形状、つまり、\(\mathbb{R}^3\)内での姿であると判断します。ここで、汎関数－\(E\)の臨界点を与えるPS写像は、一つとは限りませんので、あくまでも、考えている多結晶体の\(\mathbb{R}^3\)内での姿の候補が、リストアップされるだけであることを注意しおきます。さらに、安定した状態の多結晶体の強度を分析する方法を開拓し、複合材料力学の研究へ応用することを試みます。

第２に、多結晶体のアナログモデル(連続極限)の研究を行います。多結晶体を構成する各結晶粒（=クラスター）の定める重み付き色付き有向グラフの族を\(\{(G^a,\,m^a,\,C^a,\,O^a)\}_{a=1}^{k}\)とし，\(|G^a| \cap |G^b|\)が空集合でないとき、\(S^{ab} := |G^a| \cap |G^b|\)とおきます．このとき、この多結晶体の粒界\(S\)は、\(S^{a,b}\)達の和集合として与えられます。\(|G^a|\)\((a=1,\dots,k)\)の和集合を\(|G|\)と表し、\(|G|\)から\(\mathbb{R}^3\)へのPS写像の全体を\(\mathrm{Map}_{PS}(|G|,\mathbb{R}^3)\)と表します。その多結晶体の構造に応じて、\(G^a\)\((a=1,\dots,k)\)達の適切な細分をとります。この各細分を\(G^a_1\ (a=1,\dots,k)\)と表します。以下、この細分をとる操作を無限回繰り返すことにより，\(G^a\)\((a=1,\dots,k)\)の細分列\(\{G^a_i\}_{i=1}^{\infty}\)を定め、さらに、重さ付き色付き有向グラフの列\(\{(G^a_i,\,m^a_i,\,C^a_i)\}_{i=1}^{\infty}\)を定めます。この列（あるいはこの部分列）が、ある計量とある接続をもつ3次元（または、2次元）の連続図形(例えば，リーマン計量とアフィン接続をもつ区分的に滑らかな2次元（または、3次元）多様体)\((M_a,\,g_a,\,\nabla^a)\)に収束するかどうかを調べます。\(|G^a_i|\ (a=1,\dots,k)\)の和集合を\(|G_i|\)、\(M_a\ (a=1,\dots,k)\)の和集合を\(M\)と表し、\(|G_i|\)から\(\mathbb{R}^3\)へのPS写像の全体を\(\mathrm{Map}_{PS}(|G_i|,\mathbb{R}^3)\)、\(M\)から\(\mathbb{R}^3\)へのPS写像の全体を\(\mathrm{Map}_{PS}(M,\mathbb{R}^3)\)と表します。\(\{m^a_i\}_{a=1}^{k}\), \(\{C^a_i\}_{a=1}^{k}\)、\(|G_i|\)の粒界\(S_i\)の形状、及び、\(S_i^{ab}\)に沿う\(G^a\)と\(G^b\)の接合状況に依存して、\(\mathrm{Map}_{PS}(|G_i|,\mathbb{R}^3)\)上でエネルギー汎関数\(E_i\)を定め、その臨界点の列\(\{f_i\}_{i=1}^{\infty}\)で，\(i \to \infty\)のとき、ある\(f_\infty \in \mathrm{Map}_{PS}(M,\mathbb{R}^3)\)に収束するようなものをみつけます。さらに、\(f_\infty\)が、\(g_a,\ \nabla^a\ (a=1,\dots,k)\))に依存して、適切に定義されたエネルギー汎関数\(E_\infty : \mathrm{Map}_{PS}(M,\mathbb{R}^3) \to \mathbb{R}\)の臨界点になるかを調べたいと考えています。以上のような方法で、多結晶体のアナログモデル(連続極限)の研究を推進したいと考えています。