前期LOG

講義の授業LOG[前期]

発言者：満田
( Date: 2006年 04月 18日火曜日 15:47:28)

●毎回の講義では何の話をしたか？  ●講義内容の理解のフォローアップのためのAssignmentとして何を指示したか？ ●次回では何の話をする予定か？ について講義後１〜２日以内までに簡単に書き込みます。 

満田さんからのコメント
( Date: 2006年 04月 18日火曜日 15:50:14)
４月１８日（第１回目）の講義では （１）Assignmentの目的とその進め方、講義の範囲、進め方について導入的な話をしました。対面授業の効果を高めるためには学生の皆さんの共同作業としての授業へのparticipationが重要であるという話をしましたが、是非、その意識を持って授業に出てください。  （２）これから用いる表記の紹介を兼ねて、クーロンの法則の復習から始めました。source charge, test charge, source point, field pointなど用語がいろいろ出て来ましたが、きちんと定着させてください。クーロンの法則はsource chargeが静止している場合(test chargeは動いていても良い）に成り立つ点を指摘しておきました。導入部で話したJefimenko方程式（「場の方程式」であるMaxwell方程式の解であり、任意に時間変化する電荷密度＆電流密度分布を源とする電場＆磁場を与える遅延を含んだ積分表示（p427式10.29）がsource chargeが動いている場合にも成り立つ）が、一般化されたクーロンの法則になります。   （３）連続的な電荷分布の場合は、電場の表式は（p62の式2.8）で与えられ（このテキストでは、この表式をしばしば「クーロンの法則」として言及しています。また、そこで用いられている『重ね合わせの原理』は自明ではなく実験事実であること（p58 footNote1を参照）を強調しました。）、差分単位位置ベクトル（筆記体アールーハット？）は積分中に向きが動くこと（p62 footNote2を参照）を注意し、具体例として問題2.6を解説しました。ベクトル的足し合わせの結果、被積分関数にCos(θ)をかける必要があること（θはz軸と筆記体アールーハット？の成す角度）を説明しました。  （４）問題2.6を解いて出てきた表式を(Z >> R)で漸近評価し、有限の大きさを持つ電荷分布は十分離れれば点電荷として振る舞うことを強調しました。これは有限の大きさを持つ電荷分布に対しては（無限に広い面電荷分布、無限に長い線電荷分布は除きます）いつも成り立つ話ですので、ある（有限の）電荷分布を計算したとき、その計算がおかしくないか？をcheckする方法になることを強調しておきました。  （５）連続的な電荷分布の作る電場の計算（微小電荷要素のつくる電場のベクトル的足し合わせによる）の同様な例として、問題2.7＆問題2.8をAssignmentに指定しました。これらの答えは１年生の物理学でガウスの法則を用いて計算したことがあると思いますが、ガウスの法則を使わずに積分（式2.8）で計算してください。  （６）次回はAssignment＃１（問題2.7＆問題2.8）の解説をして、p65以降の「ガウスの法則」「電場のDivergence & Curl」について話を進めます。

満田さんからのコメント ( Date: 2006年 04月 25日火曜日 18:35:40)
４月２５日（第２回目）の講義では  （１）連続的な電荷分布の作る電場の計算（微小電荷要素のつくる電場のベクトル的足し合わせによる）の例として、Assignment＃１に指定した問題2.7（球殻電荷分布）＆問題2.8（球電荷分布）の解説から始めました。問題2.7の計算は板書した通りですが、「球殻の外側ではあたかも原点に全電荷が集中しているがごとく見なせる電場が作られること」「球殻の内側では電場はどこでもゼロになること」を言及し、「z＝Rでは球殻の半径の大きさに依存せず、σ／ε０のジャンプがあること」を、前回扱った問題2.6を再登場（z＝０では電場は不定ではなくゼロ！）させてコメントしました。問題2.8については、題意通り、極座標であらためて３重積分を計算しなくても問題2.7の結果を用いて結果が出せることを被積分関数を図解して説明しました。  （２）問題2.7 で得られた「球殻の内側では電場はどこでもゼロになる」という結果をより定性的に理解できるように、「立体角(Solid Angle)を用いた議論』で説明しました。ここでは距離の違いを見込む電荷量の違いが補っていることと、球形ゆえCos(ψ)の射影因子が共通であることがポイントであることを指摘しておきました。また「球殻の内側では電場はどこでもゼロになる」性質は、高い精度でクーロンの法則を実験的に検証することに利用できることを言及しました（詳細は、2.5 Conductors(導体)で話します）  （３）微小電荷要素のつくる電場のベクトル的足し合わせによることなく、場を計算するパワフルなガウスの法則は既に、１年生の物理学で（立体角(Solid Angle)を用いた議論により）学習していますが、ここでは、「ガウスの法則（物理法則）」＝ガウスの発散定理（数学定理）＋クーロンの法則（物理法則）の成り立ちに基づき説明しました。  （４）「ガウスの法則」（積分型）を用いた典型的な例は、１年生の物理学で十分習得していると理解していますので、問題2.8（球電荷分布）の結果をガウスの法則により出す問題2.12（p75）、例題2.4、問題2.13らを具体的に解説することはスキップしました（これらは演習の時間に具体的に解いてみてください）。  （５）「ガウスの法則」（積分型）を用いる際に、電荷分布の持つ空間対称性から電場の満たすべき空間対称性を如何に引き出すか？がポイントになります。球電荷分布、直線電荷分布について、微小電荷要素のつくる電場のベクトル的足し合わせを目で大雑把に行って電場の当たりをつけるのではなく、電荷分布の持つ空間対称性から電場の満たすべき空間対称性を見出す問題を出しました（次回にランダムに当てますので、考えて見てください）。  （６）「ガウスの法則」は常に正しいが、usefullなのは電荷分布の持つ高い空間対称性に起因する電場の呈する空間対称性があるときだけで、Spherical/Cylndrical/Plane Symmetry に限られることを話しました。example2.5(p74)のように全体ではそれらの対称性を持たないが、対称性を有するObjectに分解できる場合は分解したObjectについて「ガウスの法則」を適用し、重ね合わせの原理を用いればよい話をし、その良い例題として、問題2.18（２個の球電荷だんご？）をassignment＃２の一つとして予約しました。  （７）静電場Eを記述するためには、そのDivergenceとRotationを知る必要があります（ヘルムホルツの定理（p555））。（広義）のクーロンの法則（式2.8）の表式に対して、Divergenceの計算を始めたところで時間切れです、  （８）次回は静電場Eを記述する場の方程式∇×E=０、∇･E=ρ／ε０を求める話から始め、p77以降のPotentialに進みます。ベクトル解析の怪しい人は、p53の1.6.2のPotentialsを読んでおいてください。（irrotational fieldの持つ性質について）   

満田さんからのコメント ( Date: 2006年 05月 02日火曜日 15:55:06)
５月２日（第３回目）の講義では  （１）静電場Eを記述するためには、そのDivergenceとRotationを知る必要があります（ヘルムホルツの定理（p555））。広義のクーロンの法則（式2.8）の表式からスタートして、静電場Eを記述する場の方程式∇×E=０、∇･E=ρ／ε０を導出しました。 Divergenceについては逆二乗則の持つ特異性（原点ではデルタ関数型の特異性があるがそれ以外はすべてゼロ）がポイントで、∇･E=ρ／ε０なる場の方程式が得られました。 Rotationについては動径方向を向くベクトル場であるため、すべてゼロになり、∇×E=０なる場の方程式が得られました。ただし、Divergenceで見られたような原点での特異性がないことを、問題1.60（b）の数学定理を用いて確かめておきました。  （２）electric potential V(r) (電気ポテンシャル、電位）を2.29式で導入し、 (i)電場が『Derivable from a potential』であること、(ii)名前がpotentialエネルギーと紛らわしいこと(単位はボルト！）、(iii) 電場ベクトルの３成分は∇×E=０で表される強い関連があり、３成分は独立でないゆえ、electric potential V(r) では１成分のスカラーで表現され、電場の重ね合わせではベクトル和を扱うのに対してelectric potential V(r)はスカラー和を扱い簡単であり、Advantageがあることを言及しました。electric potential V(r)の意味を知るため、電場に抗して単位正電荷を運ぶ仕事を考え、電場がガウスの法則等で予め求まっているときは式2.21により任意の経路で線積分してpotentialを求めることができることを説明しました（経路の任意性は、∇×E=０の場はirrotational field(渦なし場)でありConservative Field（保存場）であることに起因します。ベクトル解析で学習したことを思い出してください）。electric potential V(r)の通常の基準点の選択は無限遠方でpotential＝０としますが、無限長線電荷分布や無限平面電荷分布には当てはまらないことを説明しました。テキストp８０でnatural spotについての記述がありますので読んでみましょう。  （３）無限長の線電荷分布の基準点の話をする際に、先週出した宿題「この電荷分布が作る電場を「ガウスの法則」で求める際に、電荷分布の持つ空間対称性から電場の満たすべき空間対称性を如何に引き出すか？」について答えてもらいました（1205002番の学生の方ご苦労様でした）。  （４）assignment＃２として、問題2.21（式2.21を具体的に用いる練習）と　問題2.28（式2.29を具体的に用いる練習）を予約しておいた 問題2.18に加えて出しました。問題2.18は、全体では電荷の高い対称性（Spherical/Cylndrical/Plane Symmetry）を持たないが、対称性を有するObjectに分解できる場合は分解したObjectについて「ガウスの法則」を適用し、重ね合わせの原理を用いればよい例題です。  （５）p87　Fig2.35にある「電荷分布ρ」vs「電場　E」vs「Potential　V」の関係を、これまで学習した事項の整理として、説明しました。『Potential　-> 電荷分布』に出てくるPotentialというスカラー場が満たす場の方程式であるPoisson's Eq /Laplace's Eq については、物理数学２で学習する偏微分方程式における境界値問題として、後期にChapter3で詳しく話すことを予告しました。  （６）『(i)電場が『Derivable from a potential』であること』の理解を高める問題として、問題2.25(a)（p86）の解説をしました。電場を求めたい点におけるPotentialの値だけでは電場を『Derivable from a potential』できず、点のまわりのPotentialの情報が必要であることを強調しました。簡単な話ですが、今一度各自で内容を咀嚼してください。  （７）既に表面電荷分布を持つ具体例（問題2.6、問題2.7）で電場の計算をしましたが、その際に表面電荷分布の詳細によらず、σ／ε０の電場の飛びがあることに気がついていたと思いますが、その一般論をテキスト（p88〜90）に従い説明しかけて時間切れです。  （８）次回は、表面電荷分布によるσ／ε０の電場の飛びの続きを話して、p９０の静電場のエネルギーに進みます。「The energy of a point charge distribution」のコンテンツ（QuickTime Movie)を用いますが、見れる人は見てください。順次クリックしていくとページが進みます。 KeyNoteというMac版のプレゼンソフトから吐き出したQuickTime Movieなので結構重たく、ブロードバンドの環境からアクセスしてください。(以下にリンク「The energy of a point charge distribution」があります） 
→ The energy of a point charge distribution

満田さんからのコメント ( Date: 2006年 05月 09日火曜日 15:59:15)
５月９日（第４回目）の講義では  （０）Assignment#2の解説をしました。問題2.18は、全体では電荷の高い対称性（Spherical/Cylndrical/Plane Symmetry）を持たないが、対称性を有するObjectに分解できる場合は分解したObjectについて「ガウスの法則」を適用し、重ね合わせの原理を用いればよい例題ですが、後期に４章で物質の分極を議論する際に、この僅かにずれた球電荷分布が重なりの領域で作る場（差分ベクトルdに比例し、一様）が必要になることを言及しておきました。問題2.21（式2.21を具体的に用いる練習）と　問題2.28（式2.29を具体的に用いる練習）については結果のみを記すに止めました。  （１）表面電荷分布を持つ具体例（問題2.6／問題2.7）で表面電荷分布の詳細によらず、σ／ε０の電場の飛びがあることに気がついていたと思いますが、その一般論をテキスト（p88〜90）に従い、表面電荷密度分布がある場合は、電場のNormal 成分はσ／ε０の飛びがある一方Tangential成分は連続であることを説明しました。  （２）点電荷分布に蓄えられるエネルギーについて、「The energy of a point charge distribution」のコンテンツ（QuickTime Movie)を用いて説明しました。これはwebでアクセスできますので、各自で復習してください。（プロジェクターの扱いに戸惑いましたが、動きが必要なコンテンツを用いる場合にプロジェクターを使うことにします）  （3）点電荷分布に蓄えられるエネルギーの表式から連続分布に蓄えられるエネルギーの表式を和を積分に置き換えることにより導入し、連続電荷分布によるエネルギーの表式（2.43式）を電場によるエネルギーの表式（2.45式）に書き換える話をテキスト(p93〜94)に従い説明しました。積分領域が前者は電荷分布存在領域であり、後者は全空間であることに注意してください。 （2.43式）と（2.45式）の等価性については、問題2.32(a)&(b)を例にとり話しました（具体的な積分は各自で確かめてください）が、Example2.8(p94)にも目を通しておくと良いでしょう。  （４）p95　2.4.4　Comments on Electric energyに沿って解説しました。２個の（正負の）点電荷からなる系のエネルギーを「点電荷分布に対するエネルギーの表式」で計算すると負の値になるが、「電場によるエネルギーの表式（2.45式）」を用いて計算すると常に正になり矛盾している？というパラドックスを発問して、「点電荷分布に対するエネルギーの表式」は点電荷（分布）を作るために必要な点電荷の（発散している）自己エネルギーを除いた表式になっていることを、それが、「電場によるエネルギーの表式（2.45式）」における各点電荷が作る電場のCross-Termに対応していることを強調して説明しました。その意味で、電場は重ね合わせ(superposition)が成り立ちますが、電場のエネルギーは重ね合わせが成り立ちません（No superposition）。その理解のcheckとして問題2.34をassignment＃3として予約しました（半径aおよびbの球殻が持つ自己エネルギーは？、Cross-Termは？、No superpositionは？に注意して単なる計算に留まらないよう、読んでわかる解答を準備してください）  （５）次回は、p96の導体(Conductor)に入り、静電場のもとでは導体が満たすべき著しい性質があること、またそれがどうしてか？について解説をします。  

満田さんからのコメント ( Date: 2006年 05月 16日火曜日 15:27:44)
（１）assignment＃3（その１）として予約しておいた、問題2.34のポイントを解説しました。電場は重ね合わせ(superposition)が成り立つが、電場のエネルギーは重ね合わせが成り立たない（No superposition）を体感してください。  （２）p96の導体(Conductor)に入り、静電場のもとでは導体が満たすべき著しい性質があること、またそれがどうしてか？について解説しました。これらの性質を前提にすると、導体内に作られたCavityについて特筆すべき性質が現れることを２つの例で話しました。  （３）第１番目は、外部電場の電気力線が導体の内部に侵入しないように電荷が表面に誘導され、これらの電気力線を吸収し外部電場からCavity内部が遮蔽される[静電遮蔽]ことです。（MIT Open Course Wareで公開されている電磁気のVideoLecture(リンクは下に付けました）で参考になる部分を見てもらいました：場所はLecutre5の 43分目〜およびLecutre5 の47分目〜）皆さんはFaraday Cageに入ってみたいですか？？  （４）第２番目は、視点をCavity内部から外部に移し、帯電していない導体内のCavity内部に電荷を設置した場合で、『The conductor conceals from us all information concerning the nature of the cavity......』となることを説明しました（example 2.9(p99)を参照し議論を今一度追ってみてください）。  （５）第１番目の例を「Cavity内部は外から守られている」というならば第２番目の例は逆に「導体内のCavityは外に対して隠される』と言えます。  （６）2.5.3　Surface Charge and Force on a Conductorに入り、任意の形状を持つ導体内部の電場をすべてゼロにするように表面電荷分布を決める『計算問題』は非常に複雑ですが、導体は物理法則に従い、あっという間にその『計算問題』を解いている点を、最近の量子コンピュータの話と絡めて強調しました。  （６）導体表面の電荷密度は曲率の大きい（低い）ところで高く（低い）ことを、十分に離れているがワイヤーで同電位に保たれた半径の異なる２個の球状導体の計算例で示しました。（これも、MIT Open Course Wareで公開されている電磁気のVideoLectureで参考になる部分を見てもらいました：場所はLecutre6の 6分目〜）  （７）Force on a ConductorでLocal Patch以外の部分の作る電場はLocal PatchのOutside/On/Inside側で不連続性を示さないことを（解りやすいように球状導体を用いて）説明しました。Local Patch自身が作る電場の不連続性のエッセンスは問題2.6の中にあります。  （８）最後に、MIT Open Course Ware電磁気学VideoLectureの8Lecutre6の 42分目〜）を使い、料理鍋の外側から電荷を与えると料理鍋の電位は直ぐに飽和してしまい電荷を移すことが出来なくなってしまいますが、鍋の内側から電荷を与えると電位は直ぐに飽和することなく（空気中でコロナ放電が起こるまでの電位になるまで）電荷を移すことができることを見てもらいました。これはVan de Graff　発電機の動作原理に他なりませんが、どうしてこのようなことが起きるか？を自身の言葉で読んでわかるように書いてください。これをassignment＃3（その２）とします。この採点基準は通常の問題とことなるので、何点とは返却時にはあらわには書きませんが、手短に読んでLogicがわかるかどうかを見ます。  （９）次回はElectroStatic Pressureの別の導出を述べて静電容量に進みます。 
→ MIT Open Course Ware電磁気のVideoLecture

満田さんからのコメント ( Date: 2006年 05月 23日火曜日 15:18:19)
５月２３日（第6回目）の講義では  （０）Assignment#3の解説をしました。その２については、第５回目に話した「導体内に作られたCavityについて特筆すべき性質」の典型的な例になっています。University Physics(11th edition)のp856にあるFaraday's icepail experimentを読んでみてください。  （１）ElectroStatic Pressureの別の導出を、仮想変位を考えたとき圧力がした仕事は電場の満ちている空間の減少によるElectroStatic Energyの減少分に等しいという関係から行いました。この考え方からも、静電エネルギーは「電場」に蓄えられていると実感できるでしょうか？ちなみに問題2.40（b）ではAlternative derivation of Eq. 2.52 と記述がありますが、この考え方にそっています。解いてみてください。  （２）静電容量Cの話を例題2.11にそって解説し、導体の形状と相互の位置で決まる容量係数C11,C12,C21,C22を導入し、静電容量Cとの関係を与えました。C12,C22を具体的に計算しましたので、C11,C21の具体的な計算をassignment#4（その１）として予約しておきます。  （３）点電荷間に働くクーロンの法則を「電場の表式」と「その電場のもと電荷が受ける力の表式」に分けたように、電流Loop間に働く力の法則（本来はアンペールの[力]の法則と呼ばれていたが、現代のテキストでは名前なしです）を「電流Loopの作る磁場の表式（ビオザバールの法則）」と「その磁場のもともう一方の電流Loopが受ける力の表式」に分けました。このアンペールの[力]の法則は一見、作用反作用の法則を満たしていませんが、問題5.49（p250）にあるように、Loop積分を実行した後は作用反作用の法則を満たしていることを確かめました。良い忘れましたが、ここで求めたF12=-F21が自明に見える表式はNeumann(ノイマン)の公式と呼ばれています。  （４）高等学校で既に結果を知っている直線電流の作る磁場はp216例題5.5にありますが、これは読めばわかりますので各自で見ておいてください。同(異)種電荷間に働く斥（引）力の関係と逆に、同(逆)方向を流れる電流間には引（斥）力が働きます。これらの違いは電気力線／磁力線の違いとして定性的に読み取ることができますが、定量的には８章p351で解説するMaxwell Stress Tensorで力線方向に働く張力と、力線と垂直方向に働く圧力によりこれらを統一的に説明できることを言及しておきました。  （５）次回はテキストにそって、２本の平行電流に働く単位長さあたりの力を用いて、電流の１Aを定義する話から始めて（p216）、定常電流（p208）、∇･B and ∇×B (p221)に進み、静電場の問題におけるガウスの法則と同様に静磁場における有益な法則である「アンペールの法則」の話をします。   

満田さんからのコメント ( Date: 2006年 05月 31日水曜日 00:14:12)
5月30日（第7回目）の講義では   （１）Wireを流れる電流の定義＝The current in a wire is the change per unit time passing a given point に従い電流を担う電荷担体の正負については電流に作用する力では区別できないが、Hall effect(問題5.39 p 247）では区別が可能という話をしました、問題5.39は演習時間のオプション問題に指定されていますので、具体的にを解いてみてください。導線では電流を担うmobile negative charge(電子）とStatinary positive charge（イオン）があり電気的には中性であり、導線を流れる[定常]電流は外電場にさらされても力を受けない事を述べておきました。  （２）２本の平行電流に働く単位長さあたりの力を用いて、電流の１Aを定義する話をしました。SI系ではまず電流がありきで１[A]=１[C／s]で電気量が定義されます。（p216 Example 5.5の具体的な計算はテキストの通りですので各自で読んでおいてください）  （３）磁場Bの名前について、Bは「磁束密度(magnetic flux density)」で「磁場の強さ」Hと区別するよう高等学校でならったと思いますが、現在の電磁気学のteachingにおいては『Bを単純に磁場(magnetic field)と呼び、後半の６章で磁性体を含む静磁気学を論ずる際に導入するHは名前を付けず、ただHと呼ぶ』というコンセンサスがあるようです。  （４）ビオザバールの法則は定常電流が作る磁場を与える法則ですが、その定常電流の条件である∇･J＝０について話し、問題5.6（b）（p２１４）の例題を示しました。この例について各自で∇･J＝０を具体的にcheckしてみてください。また電流の定義が、電流を担う電荷担体が移動する経路が一次元的なwireの場合からどのように拡張されるか？その際にどのような面で積分するのか？についてsolenoid場∇･J＝０であるため　is independent of surface, for any given boundary line　（面を定義する淵のLoopの形が決まれば、金魚すくい型でも虫取り網型でも同じ！）となることを強調しました。このあたりの数学定理が怪しい人は、p54　定理２を復習してください。  （５）先週に予約したAssignment#4(その１)に加え、電流を数値の上で体感するようにAssignment#4(その2)として問題5.19を出しました。This is literally a snail's pace. How can you carry on a long distance telephone conversation?とありますが、数値的にa snail's paceを体感してください。  （６）点電荷の作る電場を重ね合わせて電荷分布の作る電場の表式を得たように、line currentの作る磁場を重ね合わせて体積電流密度Jを含む磁場の表式（ビオザバールの法則）5.39式　を書き出しました。定常電流の一部を取り出した部分電流要素については実在する電流としての意味を持ちませんが、その磁場への寄与を見るという点で意味があります。一定速度で動く点電荷については5.40式のような磁場を考えてしまいそうですが、これはもはや定常電流ではなく、定常磁場を表すビオザバールの法則は適用できません。正しい答えは10.68式＆10.69式のようになります。（電磁気学の時間には恐らくカバーできないので、３年生で電気力学の講義を聞いてください）。  （７）電流密度 J による磁場の表式（ビオザバールの法則）について∇･B、∇×Bを計算しました。計算を始める前にB＝∇×Aのように、あるベクトル場AのRotationで磁場Bが表現できる形に変形し進める点が、テキストと少し異なります（ちなみに、このベクトル場Aはベクトルポテンシャルと呼ばれるもので、すぐあとに出てきます）。 計算は少々技巧的ですが、いくらかの計算のあとに、∇･B＝０、∇×B＝μ０J　を導出しました。  （８）∇×Bの計算で得られたアンペールの法則（微分型）∇×B＝μ０Jをストークスの定理を用いてアンペールの法則（積分型）に変え、静電場の問題におけるガウスの法則と同様に静磁場における有益な法則であることを説明しようと例題を始めるところで時間切れです。  （９）「アンペールの法則」は常に正しいが、usefullなのは電流分布の持つ高い空間対称性に起因する磁場の呈する空間対称性があるときだけであることは、電場をガウスの法則を用いる際と同じです。次回は、Example5.7(直線電流）、Example5.8(Current Sheet）あたりから始めます。

満田さんからのコメント ( Date: 2006年 06月 06日火曜日 18:03:15)
6月6日（第8回目）の講義では  （1）Assignment#4の解説をしました。その１は、同心の２個の球殻導体系におけるC11,C21の具体的な計算でした。講義で計算したC12,C22と合わせて、これらの容量係数Cijから例題2.11における容量Cが1/C=((C11+C22+2C12)/(C11*C22-C12*C12))で表現できることを各自でcheckしてください。 補足として、孤立導体の電気容量については、半径aの孤立導体球（C＝４πε０＊a）を例に取り説明し、容量係数Cijは対称であること、逆変換により定義される電位係数Pijについて言及しておきました。  （２）Assignment#4その２は身の回りにある実用的な電流を担う電子の速度vを求めて、その動きが如何に遅いかを実感してもらい、平行導線間に働く磁気力と電気力（Statinary positive charge（イオン）を取り除いた場合）の大きさの違い（その力の比〜（v/c)^2）を体感してもらうもので、これは後期で話す、相対論効果としての磁場の話に繋がります。同様な問題が問題5.16にあります演習時間に解いてみてください。。  （３）電場をガウスの法則を用いる際と同じ用に、アンペールの法則（積分型）は常に正しいが、usefullなのは電流分布の持つ高い空間対称性に起因する磁場の呈する空間対称性があるときだけであることを踏まえながら、半径aの円柱を軸方向に一様に流れる電流のばあい、p227のExample5.9(Solenoid Coil）の場合について解説しました。Example5.8(Current Sheet）、問題5.14(Slab),問題5.15(２重のSolenoid Coil)、問題5.17(断面が円形でないSolenoid Coil)を演習時間に解いてみてください。あと、Assignment#5として球対称電流の作る磁場について考える問題を予約しておきました。  （４）静電場と静磁場について場の方程式の違いをもとに、定性的にどのような違いがあるかを話しました。もしMagnetic monopole(磁気単極子：磁荷）があれば、∇･Bの右辺にそれが現れ、磁荷の流れに対応する磁流が∇×Eの右辺に現れ、静電場と静磁場は全く対称になることを話しました。電荷の流れに対応する電流が∇×Bの右辺に現れるが、磁荷がないからこそ、電荷の流れの効果が、相対論効果で小さいながらも、磁場として見えていると言えます。「相対論効果としての磁場」は大変面白い話で物理学科の皆さんはきっと早く話が聞きたいと思いますが、後期までお楽しみに！  （４） Vector Potential　A の話をしました。あるスカラー場λのgradient∇λを加えるゲージ変換を行っても同じ磁場Bを与えるゲージ不変性があるため、種々のゲージの取り方が可能であることを話しました。ヘルムホルツの定理からは場　A　を定めるために∇×Aと∇･Aの両方を定める必要がありますが、∇×Aについては文字通り∇×A＝Bとして指定されていますが、∇･Aについては何も言っていないため、このような任意性が生じます。考える問題に適したゲージ(ローレンツゲージ、放射ゲージ、etc)を設定することができますが、静磁場では∇･A＝０となる『クーロンゲージ』と呼ばれるゲージが適しておりと言ったところで時間切れでした。  （５）次回はp２３４の記述にしたがい Vector Potential　A の話を続けます。本日言及したAB効果については、次回に話しますが、時間のある人は以下のリンクを見て参考にしてください。 
→ アハラノフ･ボーム効果

満田さんからのコメント ( Date: 2006年 06月 13日火曜日 15:10:04)
本日の授業のLOGはこれから出張先に戻るので後日書きますが、問題5.27（p239）の(a) &(b)については、以下のPDFファイルを見てください。
→ 問題5.27（p239）の(a) &(b)

満田さんからのコメント ( Date: 2006年 06月 15日木曜日 14:08:22)
６月１３日（第９回目）の講義では   （１） p２３４の記述にしたがいVector Potential　A の話の続きををしました。Vector Potentialは種々のゲージの取り方が可能ですが、静磁場では∇･A＝０となるクーロンゲージが適しています。『5月30日（第7回目）の講義（７）』では電流密度Jによる磁場Bの表式（ビオザバールの法則）をB＝∇×Aのように、あるベクトル場AのRotationで磁場Bが表現できる形に変形して話を進めましたが、まさにこのベクトル場　A　がVector Potential　A　の表式になっています。Vector Potential　Aの表式（式5.63）がクーロンゲージを満たし、B＝∇×Aにより、磁場Bの表式（ビオザバールの法則）を与えることをcheckする問題5.27(a)&(b)を各自で解いてください（答えはPDFファイルを参照）  （２）電流のない空間に限れば∇×B＝０　となり静電場（∇×E＝０)における電位（electric potential V(r))と同様に、磁位（Magnetostatic scalar potential U(r)(5.65式））が定義できることについて言及しました。（テキストではp２３６）詳しくは、６章の物質中での静磁場に戻ったときに話します。  （３） Vector Potentialの実際の計算例として、ソレノイド電流のつくるA(r)を例題5.12 に沿い求めました（ここでは、アンペールの法則[積分型]とのアナロジーを用いた論理展開をしていますが、Vector Potentialの方向が電流と同様にφ方向にあることをAの表式（式5.63）からcheckする点を忘れずに）。ソレノイドコイルの外側には、運動する荷電粒子に力を及ぼす物理的実体である磁場Bがないにも関わらず、Vector Potential A(r)は有限の値を持ちますが決して意味のないものではなく（その昔は電場や磁場の計算に便利な数学的な補助量と思われていた）、電子の波動関数の位相のずれとして影響する物理的実体であり、それがアハラノフ･ボーム効果（AB効果）として予言され、干渉実験を通して実証されていることを述べました。  （４） Vector Potential自身は電位のように実用上有効な物理量でなく、かつその物理的な意味付けが簡単ではありませんが、上述したアハラノフ･ボーム効果に見られるように概念的には非常に重要な量です。Vector Potentialの実際の計算例として、例題5.11（p２３６）[回転する球面電荷（球殻内はω方向を向いた一様な磁場が出来ている[p240 問題5.29]]、問題5.22（p２３９）[直線電流]、問題5.26（p２３９）[Current Sheet]を演習時間に解いください。  （５）静電場において、「電荷分布ρ」vs「電場　E」vs「Potential　V」の関係を図式化（図2.35）しましたが、対応して、静磁場について「電流分布J」vs「磁場　B」vs「Vector Potential　A」の関係を図式化（図5.48）しました。「Vector Potential　A」to 「電流分布J」に現れるVector Potential　Aについてのラプラス方程式のラプラシアンについての注意（p235　FootNote 13)を言及しておきました。「磁場　B」 to 　「Vector Potential　A」のmissing lineについては問題5.50＆5.51を言及しておきました（(ii)のソレノイド場についての公式はベクトル解析のテキストを参照すると良いでしょう））  （６）p241の記述に沿って解説をし、任意のCurrent Sheetがある場合の磁場Bについての境界条件（p241　5.74　式）を解説しました。『電場のNormal 成分はσ／ε０の飛びがある一方Tangential成分は連続である』ことと対照的に『磁場のNormal 成分は連続である一方Tangential成分はμ０Kの飛びがあるることを強調しました。さらにこの境界条件がExample5.9(Solenoid Coil）について成り立っていることを（p242問題5.31(a)）を確かめました。  （７）テキストp294のMotional EMFから話を始めました。p295にある「Although the magnetic force is responsible for establishing the EMF, it is not doing any work. Who is supplying the energy? 」を各自で考えてみてください。 p209例題5.3（特に最後あたりにあるIt may help to consider a mechanical analogy....)も参考になるはずです。  Assignment#５は次回に延期です。 

満田さんからのコメント ( Date: 2006年 06月 20日火曜日 16:04:37)
6月20日（第10回目）の講義では  （１）先週考えて見てくださいと振ったp293の問題7.6を解説しました。保存場∇×E=0は結構な条件であることが体感できたでしょうか？　文脈は異なりますが、複素関数論における等角写像を用いてこのコンデンサーの端の電場を厳密に求める話を後期に時間が許せばします。  （２）p295にある「Although the magnetic force is responsible for establishing the EMF, it is not doing any work. Who is supplying the energy? 」を各自で考えてみてくださいと先週振った問題ですが、講義を聞いて納得できたでしょうか？単位電荷に働くローレンツ力fmag自身は全く仕事をしませんが、ローレンツ力が媒介するこにより水平右方向にagentの加えた力fpullがredirectされ垂直上方向に回路に沿って単位電荷を駆動していることになります。これは、p209例題5.3の最後あたりにあるIt may help to consider a mechanical analogy....と同じで、水平右方向にagentの加えた力fpushが直接、物体を持ち上げているわけではないが、仕事を全くしない垂直抗力Nが媒介してIt redirects the efforts of active agant from horizontal to verticalの状況と同じであると言えます。それゆえemfの定義に従った計算(7.11式）を行うことにより、（emfにはまったく寄与しない）力fpullが（起電力と見なされる）単位電荷にした仕事（vBh）が求めるられることになります。  （３）テキストp296に沿い、磁気力（ローレンツ力）によるMotional EMFを磁束の変化率で表現するFlux Ruleを一般的に証明しました。  （４）テキストp301に移り、実験（１）の結果はMotional EMFによるものでMagnetic originであり、実験（2）の結果は相対運動を考えると当たり前のように思えますが、変動する磁場により誘起された電場（ファラデー電場）によるものでElectric originであり、メカニズムが全く異なる！？にもかかわらず両者がε＝ーdφ／dtという一つのFlux Ruleで書けることは驚きであることを話しました。実際Einsteinはこれが単なる偶然の一致であるとは信じがたく、これを1905年の特殊相対性理論の論文の導入部で述べています。と言う訳で、相対論と電磁気は不可分であるという要素があり、後期に開講される相対論は是非、聞いてください。  （５）静電場（クーロン電場）と異なり、変動する磁場によりinduceされた（ファラデー）電場の満たす場の方程式（∇･E=0,∇×E=-∂B/∂t)の持つ意味を理解してもらうため、静磁場の場の方程式との類似性にもとづき、ソレノイド電流が時間に比例して増大し一定の時間変化率を持つ変動磁場により誘起される電場が、一様な定常円柱電流により作られる磁場の空間分布と（向きが逆を除けば）同じになることを説明しました。  （６）Assignmentは今回もおやすみです。代わりに任意提出のレポート問題を出します。 [1]予約しておいた球対称電流（定常電流条件∇･J=0を満たすr^-2の場で原点は除く）の作る磁場を求める問題 [2]p300の問題7.11を出しました。 回収BOXは６／２６（月）に出しますが、マーキングしたものは返却はしません。次回の講義時に解説し出来具合を話します。  （７）次回は電磁制動（magnetic brake)を問題7.11の解説から始めて、変位電流（p321〜）の話に入ります。 変位電流は電磁気学でも大変面白い部分ですが、難解な部分でもあります。時間のある人は、以下のwebマテリアル「変位電流は磁場をつくるか？」を眺めてみてください。  
→ 変位電流は磁場をつくるか？

満田さんからのコメント ( Date: 2006年 06月 25日日曜日 20:51:30)
次回６／２７（第１１回目）の講義で用いる資料です。黒板にも書きますが、手元に印刷して持っておくと話が分かりやすいと思いますのでUPします。以下のリンクからPDFをダウンロードして印刷し持参してください。なおこれには次回のassignment#5(その１）の問題が入っています。
→ 次回６／２７（第１１回目）の講義で用いる資料

満田さんからのコメント ( Date: 2006年 06月 27日火曜日 15:41:59)
6月27日（第11回目）の講義では  （１）p321に移り、「定常電流に対する」という付帯条件のついたアンペールの法則（微分型）∇×B＝μ０J（式４）は非定常電流の場合に成り立たないことを数式の上で説明し、一定電流によるコンデンサーの充電過程の例（これは定常電流でなく非定常電流になっている！）を用いて、確かに矛盾があることを話しました。  （２）アンペールの法則に新たに変位電流項を加えたアンペールの法則（with Maxwell's correction）ではその不備が解消されていることを説明しました。変位電流はその名前が「電流」となっていますが、電荷が移動する「真電流J」とは何の関係もなくMisleadingな名前ですが、変位電流の名前の由来を簡単に説明しておきました。現代的なテキストは「変位電流項」よりは「Maxwell項」と呼ぶほうが適切であると述べています。その意味でファラデーの法則（∇×E=-∂B/∂t）の右辺は「ファラデー項」と呼ばれていますが、「変位磁流」とは言いません。（この点については次回にまた言及します）  （３）p324のproblem7.32にあるようにコンデンサー極板内に作られる磁場をアンペールの法則（with Maxwell's correction）を用いて計算しました。そのfoot note14（This problem raises an intersting quasi-philosophical question)」にあるように、コンデンサー内の磁場を測定すると、変位電流の効果を見ていることになるのか？単に電流の効果を見ていることになるのか？どちらなのか？　不思議な疑問が生じますねと話を振りました。コックさん帽子の側面からのout-going電流の表式をI＊(1-(s/a)^2)と与えましたが、Assignment＃５（その２）では、この電流の表式を実際に求めて、problem7.32（c）を解くプロセスを自身の言葉でself-containedに書くことを、出しました。「変位電流は磁場を作るか？」というwebマテリアルが参考になると思います（その中に、今日見せたコンデンサー極板内に作られる磁場の実験の図があります）。  （４）任意提出のレポート課題（問題7.11）を解説しました。余談でしたが、運動方程式を無次元化する過程で考えているsystemを特徴付ける速度や時間のスケールが見える話はどうでしたでしょうか？（調和振動の運動方程式を無次元化する過程で得られるsystemを特徴付ける量は何になるでしょうか？）　数ミリ秒程度でほぼ終端速度に達する計算でしたが、これと同様な電磁制動の現象（テキストp299図7.15）をMIT Open Course Wareのvideo（Lecutre17の 40分目あたり）で見てもらいました。あっという間に振動が止ました。  （５）Assignment＃５（その１）としてwebに置いておいた「What do voltmeters measure ? Faraday's law in a multiply connected region」を話す時間がなかったので、これは来週に回します。次回までにはweb上に置いたPDFを各自で印刷し持って来てください。 
→ 変位電流は磁場をつくるか？

満田さんからのコメント ( Date: 2006年 07月 04日火曜日 15:53:26)
7月4日（第12回目）の講義では  （1）テキストp326-327に沿って、実験事実から積み上げて来た電磁現象を記述するMaxwell方程式（式7.39）について話しました。テキストには書いてありませんが、Maxwell方程式を、電磁場の時間発展を定める（運動方程式に相当する）式7.39の２組(iii)と(iv))と、補助条件（運動の初期条件に相当する）式7.39の２組(i)と(ii))とに分けて、その意味付けを考えました。Maxwell方程式は電場と磁場が絡んでいるため、「変化する磁場が電場をつくる」や「変位電流が磁場をつくる」といった表現を多くのテキストで見かけますが、何が電磁場の源であるか？という意味からは注意が必要であり、電場と磁場の絡みをほどいた（非済次）方程式を導出し、左辺には（電場／磁場）が空間と時間をどう伝搬するかを表すダランベール演算子が、右辺には電荷と電流がソースとして現れることを話し、電場と磁場のソースは電荷と電流であることを強調しました。（「変位電流は磁場を作るか？」というwebマテリアルの「３．Jefimenko方程式」を参照してください）  （２）Magnetic Charge(Magnetic monopole)は今日まで実験では見つかっていませんが、Maxwell方程式は電場と磁場の対称性からはMagnetic Chargeを請うていると言える話をしました。 ファラデー項（変位磁流項）　vs　Maxwell項（変位電流項）が理解できたでしょうか？  （３）Assignment＃５（その１）としてwebに置いておいた「What do voltmeters measure ? Faraday's law in a multiply connected region」を話しました。電位の概念は保存場だけで使えるものです。  （４）テキスト問題7.50にある出典　R. H. Romer, Am. J. Phys. 50, 1089(1982)ですが、理科大の中から（外からの場合はVPN経由）図書館のwebに入り「ｵﾝﾗｲﾝ・ｼﾞｬｰﾅﾙ」からAmerican journal of physics (Scitation)を探しにいくとありますが、最初は面倒だと思いますので、この認証のかかった空間に<<<１週間だけ>>>論文のPDFファイルを置いておきます。見たい人は見てください。  （５）テキストp310に従い、mutual-inductanceについて解説しました。その定義からはある意味当たり前に思えるM12=M21は以外にもAstonishingであることを体感してもらう例題（例題7.10の有限長と無限長の同軸ソレノイドコイルの問題）の話を始めたいところで時間切れです。  （６）来週は、この続きからですが、授業の電子アンケートをよろしくお願いします。  
→ What do voltmeters measure ?

満田さんからのコメント ( Date: 2006年 07月 18日火曜日 00:53:41)
7月11日（第13回目）の講義のLOGを先週書き込んだはずでしたが、何かの手違いで！？書いたものがweb上に残っていませんでした。残念ですが、直後でないと記憶が薄れてLOGの意味がないので前期のLOGはこれで終わりです。  明日の7月18日（第14回目）授業時間は、出張中の私に変わり、二国先生から２年生全員に集まる機会として物理教室からの重要な話がありますので必ず出席してください。

満田＠出張先さんからのコメント ( Date: 2006年 07月 18日火曜日 00:58:48)
定期試験問題は、講義のLOGを見ながら作成しました。ですので、試験対策としては、授業で話したことを、講義のLOGを見ながら全体的に復習するのが効果的かと思います。  来週７／２４からの週は、神楽坂に居ますので、質問等がありましたら対応できます。 ただし、何が出ますか？これは出ますか？という質問はなしにしましょう。  では頑張ってください。

2006[電磁気学]授業の記録

授業改善は進んでいるか？